Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles

Un joueur achète 10 F un billet permettant de participer à un jeu constitué d'un grattage suivi d'une loterie.

Il gratte une case sur le billet. Il peut alors gagner 100 F avec une probabilité de 1/50 ou bien ne rien gagner.

G désigne l'événement "le joueur gagne au grattage"

Il participe ensuite à une loterie avec le même billet .

A cette loterie, il peut gagner 100 F ou 200 F ou bien ne rien gagner.

L₁ désigne l'événement :"Le joueur gagne 100 F à la loterie"

L₂ désigne l'événement :"Le joueur gagne 200 F à la loterie"

P désigne l'événement :"Le joueur ne gagne rien à la loterie"

Si le joueur n'a rien gagné au grattage, la probabilité qu'il gagne 100 F à la loterie est 1/70

et la probabilité qu'il gagne 200 F à la loterie est 1/490

1°)

1. Faire un arbre sur lequel on indiquera les renseignements qui précèdent

   	L1/G
   G 1/50	L2/G
   	P/G
   	L1/nonG 1/70
   nonG 49/50	L2/nonG 1/490
   	P/nonG

2. Calculer la probabilité pour que le joueur ne gagne rien à la loterie sachant qu'il n'a rien gagné au grattage.
   Pr(P/nonG) = 1 - (P(L1/nonG) + P(L2/nonG)) = 1 - (1 /70 + 1/490) = 482/490
   Compléter l'arbre obtenu avec cette valeur
   

   	L1/G
   G 1/50	L2/G
   	P/G
   	L1/nonG 1/70
   nonG 49/50	L2/nonG 1/490
   	P/nonG 482/490

3. AU bout de chaque branche, indiquer le gain algébrique total du joueur ,après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet.

	L1/G	190
G 1/50	L2/G	290
	P/G	90
	L1/nonG 1/70	90
nonG 49/50	L2/nonG 1/490	190
	P/nonG	-10

2°) On note X la variable aléatoire qui représente le gain algébrique total du joueur ,après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet.

La probabilité de l'événement "X=90"" est 2/125.

La probabilité de l'événement "X=190" est 1/250

1. Montrer que la probabilité que le joueur gagne 100 F à la loterie sachant qu'il a gagné 100 F au grattage est égale à 1/10

   
   1/250 = Pr(X = 190) = Pr(L2/nonG) Pr(nonG) + Pr(L1/G)Pr(G)

   donc 1/250 - 1/490 * 49/50 = Pr(L1/G)* 1/50 d'où Pr(L1/G) = 1/10

2. Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie sachant qu'il a gagné 100 F au grattage

   
   2/125 = Pr(X = 90) = Pr(P/G) Pr(G) + Pr(L1/nonG)Pr(nonG)

   donc 2/125 - 1/70 * 49/50 = Pr(P/G)* 1/50 d'où Pr(P/G) = 1/10

3. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer l'espérance de X.

   
   

   xi	-10	90	190	290	Total
   Pr(X=xi)	482/500	8/500	2/500	8/500	1
   xiPr(X=xi)	-4820/500	720/500	380/500	2320/500	E(X) = -1400/500 = -2,8

Dans le plan rapporté au repère orthonormé (O ; vecteur u , vecteur v) , on désigne par M(z) le point M ayant pour affixe z.

1°) Placer sur une figure les points A(2+i), B(2i), C(-4 + 3i) et D(-8) en prenant 1 cm pour unité graphique.

2°) Soit f la transformation du plan qui à tout point M(z) associe le point M'(z') tel que z' = (1 + 2i) z - 4 - 2i

1. f(A) a pour affixe z' = (1 + 2i) z_A - 4 - 2i =(1 + 2i)( 2 + i) - 4 - 2i = 2 + i + 4i + 2 i² - 4 - 2 i = -4 + 3 i = z_C
   donc f(A) = C
   f(B) a pour affixe z' = (1 + 2i) z_B - 4 - 2i =(1 + 2i)(2i) - 4 - 2i = 2i + 4 i² - 4 - 2 i = -8 = z_D
   donc f(B) = D
   
2. W d'affixe w est un point fixe pour f
   si et seulement si f(W) = W
   si et seulement si w = (1 + 2i) w - 4 - 2i
   si et seulement si w(1 - 1 - 2i) = - 4 - 2i
   si et seulement si w= (-4 - 2 i)/(-2i) = 4/2i + 1 = 1 - 2i
   f admet donc un unique point fixe W d'affixe w= 1 - 2i

3°) Soit M un point quelconque et M' son image par f.

1. z' - z = z' = (1 + 2i) z - 4 - 2i - z = 2 i z - 4 - 2i = - 2i (w - z)
   Dans toute la suite, M est différent de W
2. MM'/MW = module(z' - z)/ module (w - z)= module ((z' - z)/ (w - z)) = module(-2i) = 2
   l'angle (vecteur MW, vecteur MM')= arg((z' - z)/ (w - z)) = arg--2i) = - p/2
3. On peut en déduire une construction géométrique du point M' connaissant le point M
   
   1. On part d'un point M.
   2. On trace le segment [WM]
   3. On trace la demi-droite passant par M et indirectement perpendiculaire à [WM] telle que
   4. Sur cette demi-droite à l'aide du compas on place M' tel que MM' = 2 MW
   .

   

   vous pouvez bouger le point M avec votre souris dans la figure ci-dessous réalisée en cabri java :
   

   On peut construire ainsi f(A) et vérifier que f(A) = C

   

   Idem pour f(B) = D

   

1°) Soit B une boîte en forme de pavé droit de hauteur L, à base carrée de côté l, où l et L sont des entiers naturels non nuls tels que l < L

On veut remplir la boîte B avec des cubes tous identiques dont l'arête a est un entier naturel non nul

(les cubes devant remplir complètement la boîte B sans laisser d'espace vide).

1. Dans cette question, l = 882 et L = 945

   La plus grande valeur possible pour a est le pgcd(882,945) = 63

   Les valeurs possibles pour a sont les diviseurs communs à 882 et à 945 c'est à dire 1 ou 3 ou 7 ou 9 ou 21 ou 63

   car div(882) = {1,2,3,6,7,9,14,18,21,42,49,63,98,126,147,294,441,882 }

   et div(945) = {1,3,5,7,9,15,21,27,35,45,63,105,135,189,315,945 }

2. Dans cette question, le volume de la boîte B est v = 77760.

   On sait que pour remplir la boîte B la plus grande valeur possible de a est 12.

   Donc le pgcd(l,L) =12 d'où l = 12 l' et L = 12 L' avec l' et L' premiers entre eux.

   77760 = v = l² L = (12 l') ² 12 L = 1728 l ' ² L ' donc l'² L' = 45

   Or div(45) = { 1, 3 , 5, 9 , 15 , 45 }

   l ' 2	L'	l'
   1	45	1
   3	15	racine carrée de 3
   5	9	racine carrée de 9
   9	5	3
   15	3	racine carrée de 15
   45	1	racine carrée de 45

   Comme l et L donc l' et L' sont des entiers ,il y a donc exactement deux boîtes B possibles :

   l ' = 1 et L ' = 45 donc l = 12 et L = 540

   l ' = 3 et L ' = 5 donc l = 36 et L = 60

2°)On veut remplir une caisse cubique C dont l'arête c est un entier naturel non nul , avec des boîtes B toutes identiques telles que décrites dans la question1.

(Les boîtes B, empilées verticalement doivent remplir complètement la caisse C sans laisser d'espace vide).

1. Dans cette question, l = 882 et L = 945

   La plus petite arête c pour la caisse C est le ppcm (882,945) = (882 * 945) / pgcd (882,945) = 13230

   L'ensemble de toutes les valeurs possibles pour a est l'ensemble des multiples communs à 842 et à 945

2. Dans cette question, le volume de la boîte B est 15435.

   On sait que la plus petite arête possible pour la caisse C est 105.

   Donc 105 = ppcm(l,L) donc 105 = x l et 105 = y L

   Or 15435 = v = l² L = (105/x)² (105/y) donc 15435 x² y = (105)³ = 1 157 625 donc x² y = 75

   Or div(75) = {1,3,5,15,25,75}

   x2	y	x
   1	75	1
   3	25	racine carrée de 3
   5	15	racine carrée de 5
   15	5	racine carrée de 15
   25	3	5
   75	1	racine carrée de 75

   l et L sont des entiers donc

   ou x = 1 et y = 75 donc l = 105/1 = 105 et L = 105/75 = 1,4 à rejeter car L est un entier

   ou il reste une seule boîte x = 5 et y = 3 donc l = 105/5 = 21 et L = 105/3 = 35

1°) l'équation différentielle (2) : y' - 2 y = 0 est de la forme ay' + by = 0 avec a = 1 et b = -2

Or ay' + by = 0 a pour solutions les fonctions qui à x fait correspondre Ke^(-b/a)x où K est un réel.

Donc l'ensemble S des solutions de (2) est l'ensemble des fonctions qui à x fait correspondre Ke^2x où K est un réel.

2°)

1. u(x) = ( a x + b) e^x solution de l'équation (1)

   si et seulement si u ' (x) - 2 u(x) = x e^2x

   si et seulement si a e^x + (a x + b) e^x - 2 (a x + b) e^x = x e^2x

   si et seulement si ( a + ax + b - 2 ax - 2b) e^x = x e^x

   si et seulement si - a x + a - b = x car e^x est non nul étant strictement positif

   si et seulement si -a = 1 et a - b = 0

   si et seulement si a = -1 et b = -1

   Donc u(x) = (-x - 1) e^x

2. v est une solution de l'équation (2)

   si et seulement si v '(x) - 2 v(x)= 0

   si et seulement si v '(x) - 2 v(x) = x e^x - u '(x) + 2 u(x)

   si et seulement si v '(x) + u '(x) - 2 ( v(x) + u(x)) = x e^x

   si et seulement si ( v + u ) ' (x) - 2 ( v + u )(x) = x e^x

   si et seulement si u + v est solution de (1)

3. f solution de (1)

   si et seulement si (f - u) + u solution de (1)

   si et seulement si f - u solution de (2)

   si et seulement si f(x) - u(x) = K e^2x

   si et seulement si f(x) = u(x) + K e^2x

   si et seulement si f(x) = ( - x - 1) e^x + K e^2x où K est un réel

3°) f solution de l'équation (1) qui s'annule en 0.

si et seulement si f(0) = 0

si et seulement si 0 = f(0) = ( - 0 - 1) e⁰ + K e²⁽⁰⁾

si et seulement si 0 = -1 + K

si et seulemnt si K = 1

Donc f(x) = ( - x - 1) e^x + e^2x

Soit g la fonction définie sur R par g(x) = 2 e^x - x - 2

1°)Quand x tend vers - ¥, e^x tend vers 0 , - x tend vers + ¥ donc g(x) tend vers + ¥

g(x) = x (2 e^x/x - 1 - 2 / x)

donc quand x tend vers + ¥, g(x) tend vers + ¥

car x tend vers +¥ et 2 e^x/x - 1 - 2 / x tend vers + ¥

puisque e^x/x tend vers + ¥ et - 2 / x tend vers 0

2°)Pour tout réel x, l'on a g ' (x) = 2 e^x - 1

g ' (x) = 0 si et seulement si 2 e^x = 1 si et seulement si x = ln( 1/2) si et seulement si x = - ln(2)

g ' (x) strictement supérieur à 0 si et seulement si 2 e^x strictement supérieur à 1 si et seulement si x strictement supérieur à ln( 1/2) si et seulement si x strictement supérieur à - ln(2)

x	-¥		-ln(2)		+¥
g'(x)		-+	0	+ -	+ ¥
g(x)	+¥		ln(2) - 1

3°) On admet que l'équation g(x) = 0 a exactement deux solutions réelles.

1. g(0) = 2 e0 - 0 - 2 = 0 donc 0 est une de ces solutions
2. L'autre solution est appelée a.

   g est dérivable et strictement décroissante sur I = [-1,6;-1,5]

   Donc g est dérivable de I sur J= [g(-1,5);g(-1,6)]. Or O appartient à J donc 0 admet un antécédent unique a dans I.

   Comme g(-1,6) > 0 car g(-1,6) a pour valeur approchée 0,004 et g(-1,5) <0 car g(-1,5) a pour valeur approchée -0,05

   on peut en déduire que -1,6 <= a <= - 1,5

4°) Le signe de g(x) suivant les valeurs du réel x est donc le suivant :

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = e^2x - ( x + 1) e^x

1°)f(x) = e^2x - x e^x - e^x

Quand x tend vers - ¥, 2x tend vers - ¥, e^2x tend vers 0 , e^x tend vers 0, - xe^x tend vers 0 donc f(x) tend vers 0

f(x) = e^2x( 1 - x / e^x - 1 /e^x)

donc quand x tend vers + ¥, f(x) tend vers + ¥

car e^2x tend vers + ¥

et ( 1 - x / e^x - 1 /e^x) tend vers 1 car x / e^x tend vers 0 et 1 /e^x tend vers 0

2°) f '(x) = 2 f(x) + x e^x

car f est solution de l'équation différentielle y ' - 2 y = x e^x.

f '(x) = 2 (e^2x - ( x + 1) e^x)+ x e^x = e^x g(x)

donc f ' (x) et g(x) ont le même signe car e^x > 0

donc sur ]- ¥; a [ U ] 0 ; + ¥[ f ' (x) est strictement positif donc f y est strictement croissante

et sur ]a ; 0[ f ' (x) est strictement négatif donc f y est strictement décroissante

3°) f(a) = e^2a - ( a + 1) e^a

Or g(a) = 0 donc e^a = (a + 2) / 2

donc f(a) = ((a + 2) / 2)² - ( a + 1 ) (a + 2) / 2 = (a² + 2 a) /4 où a est défini dans la partie B.

On en déduit un encadrement de f(a).

Comme -1,6 <= a <= -1,5

alors -3,2 <= 2a <= -3 et 2,25 <= a² <= 2,56

d'où (-3,2 + 2,25)/4 <= - f(a) <= (-3 + 2,56)/4 donc 0,11<= f(a) <= 0,24

4°) Voici donc le tableau de variations de f :

x	-¥		a		0		+ ¥
f'(x)		+	0	-	0	+
f(x)	0		f(a)		0		+ ¥

5°) Voici la courbe (C) représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal

1°) m étant un réel négatif , comme sur [m;0], on sait que f(x) est strictement positive

alors l'intégrale de m à 0 de f(x)dx est (1/4) * l'aire du domaine car l'unité d'aire vaut 4 cm²

délimité par les droites d'équation x = m ; x = 0 , y = 0 et la courbe (C)

2°)

1. Calculer I = l'intégrale de m à 0 de x e^x dx à l'aide d'une intégration par parties.

   On pose U(x) = x donc U ' (x) = 1 et V'(x) = e^xdonc on peut prendre V(x) = e^x

   U, V , U ' et V' étant dérivables, on peut donc intérer par parties

   d'où I = [ x e^x] entre m et 0 - l'intégrale entre m et 0 de e^x dx

   I = [ x e^x - e^x] entre m et 0

   donc I = - 1 - m e^m + e^m

2. On en déduit l'intégrale J de m à 0 de f(x) dx

   J = [(1/2)* e^2x - x e^x + e^x - e^x] entre m et 0

   J = m e^m + 1/2 - (1/2)*e^m

3°) Lorsque m tend vers -¥ ,J tend vers 1/2 car m e^m tend vers 0 et e^m tend vers 0