Exercice 1
Un magasin reçoit 3 réclamations en moyenne par jour. Supposant poissonnienne la loi de survenance de ces réclamations, calculer la probabilité pour que le premier lundi du mois prochain soient enregistrées :
a) 0 réclamation
b) 2 réclamations
c) plus de 4 réclamations
Corrigé :

X la loi de survenance des réclamations suit la loi de Poisson P(3). On utilise alors une table de la loi de Poisson.

a) P("0 réclamation") = P(X=0) = e^-3 3⁰ /0! = 0,0498

b) P("2 réclamation") = P(X=2) = e^-3 3² /2! = 0,2240

c) P("plus de 4 réclamations") = 1 - P(X <= 4) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)+P(X=4))=0,185

Exercice 2
La probabilité pour une ampoule électrique de claquer à son premier allumage est de 0,01. On supposant poissonnienne cette loi à cet âge. Sur un groupe de 100 ampoules, quelle est la probabilité d'observer :
a) 0 claquage
b) 1 claquage
c) plus de 2 claquages
Corrigé :

n = 100 p = 0,01 donc sur 100 ampoules, la moyenne est np = 1

X la loi de survenance des claquages suit la loi de Poisson P(1).On utilise alors une table de la loi de Poisson.

a) P("0 claquage") = P(X=0) = e^-1 1⁰ /0! =0,3679

b) P("1 claquage") = P(X=1) = e^-1 1¹ /1! = 0,3679

c) P("plus de 2 claquages") = 1 - P(X <= 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) =0,0803

Exercice 3
Un standard téléphonique reçoit en moyenne 0,7 appel à la minute. Quelle est la probabilité pour que, entre 09 h 59 et 10 h, il recoive :
a) 0 appel
b) 1 appel
c) plus d'un appel
Corrigé :

X la loi de survenance des appels suit la loi de Poisson P(0,7).On utilise alors une table de la loi de Poisson.

a) P("0 appel") = P(X=0) = e^-0,7 0,7⁰ /0! =0,4966

b) P("1 appel") = P(X=1) = e^-0,7 0,7¹ /1! = 0,3476

c) P("plus d'un appel ") = 1 - P(X <= 1) = 1 - (P(X=0) + P(X=1)) = 0,1558

Exercice 4
Sur une autoroute, il y a en moyenne un accident par semaine. Une semaine, il y en a 4.
Quelle est la probabilité de cet événement ?
Corrigé :

X la loi de survenance des accidents suit la loi de Poisson P(1).On utilise alors une table de la loi de Poisson.

P("avoir 4 accidents"= P(X=4) = e^-1 1⁴ /4! =0,0153

Exercice 5
Le statisticien anglais Clarke a divisé Londres en 576 rectangles et compté les chutes de bombes dans ces rectangles durant la 2ème guerre mondiale 1939-1945.
Il a trouvé :

Calculer la moyenne l du nombre de bombes par rectangle. Comparer la distribution réelle à la distribution résultant de l'application de la loi de Poisson de paramètre l.

Corrigé :

La moyenne l du nombre de bombes par rectangle est (229*0 + 211 * 1 + 93 * 2 + 35 *3 + 7 * 4 + 1 *5)/576

c'est-à-dire 0,9288 .

Soit X la loi de Poisson(0,9288)

P(X=0) = e^-0,9288 0,9288⁰ /0! =0,3950 donc 0,3950 * 576 = 227,52

P(X=1) = e^-0,9288 0,9288¹ /1! =0,3669 donc 0,3669 * 576 = 211,33

P(X=2) = e^-0,9288 0,9288² /2! =0,1703 donc 0,1703 * 576 = 98,09

P(X=3) = e^-0,9288 0,9288³ /3! =0,0527 donc 0,0527 * 576 =30,35

P(X=4) = e^-0,9288 0,9288⁴ /4! =0,0122 donc 0,0122 * 576 = 7,02

P(X=5) = e^-0,9288 0,9288⁵ /5! =0,0022 donc 0,0022 * 576 = 1,26

La distribution réelle et la distribution théorique sont proches l'une de l'autre.

Exercice 6 - Le célèbre exemple de Von Bortkiewicz
Von Bortkiewicz a étudié le nombre de morts par ruade de cheval dans l'armée prussienne de 1875 à 1894 dans 200 corps de cavalerie : pendant 20 ans, il a étudié 10 corps de cavalerie par an

Calculer la moyenne l du nombre de morts par an. Comparer la distribution réelle à la distribution résultant de l'application de la loi de Poisson de paramètre l.

Corrigé :

La moyenne l du nombre demorts par an est (109 * 0 + 65 * 1 + 22 * 2 + 3 *3 + 1 * 4 )/200

c'est-à-dire 0,61 .

Soit X la loi de Poisson(0,61)

P(X=0) = e^-0,61 0,61⁰ /0! =0,5433 donc 0,5433 * 200 = 108,66

P(X=1) = e^-0,61 0,61¹ /1! =0,3314 donc 0,3314 * 200 = 66,28

P(X=2) = e^-0,61 0,61² /2! =0,1010 donc 0,1010 * 200 = 20,2

P(X=3) = e^-0,61 0,61³ /3! =0,0205 donc 0,0205 * 200 =4,1

P(X=4) = e^-0,61 0,61⁴ /4! =0,0031 donc 0,0031 * 200 =0,62

La distribution réelle et la distribution théorique sont proches l'une de l'autre.