Variables aléatoire - probabilité conditionnelle

Exercice Bac Amérique Sud 1996

Vous avez du constater que ce texte n'était pas clair. d'abord on ne sait pas comment l'on triche et de plus la phrase : "Pour gagner, il faut tirer au moins 2 boules blanches"

On tire 3 boules simultanément et au hasard d'une urne contenant 3 boules blanches, 3 noires, 3 vertes et 3 rouges. On suppose l'équiprobabilité des tirages.

Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1°) X est la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de boules blanches obtenues.
Déterminer la loi de probabilité de X.

X prend les valeurs 0,1 ,2 et 3. La loi de probabilité de X est entièrement déterminée par la connaissance des P([X=xi] ou xi = 0, 1 , 2 ou 3.

P([X=0]) P("tirer 0 B")=P("tirer 3 boules parmi les 9 autres boules N, V ou R) = C(9,3)/C(12,3) = 21/55

P([X=1]) P("tirer 1 B")=P("tirer 1 B parmi 3 et tirer 2 boules parmi les 9 autres boules N, V ou R) = C(3,1)*C(9,2)/C(12,3) = 27/55

P([X=2]) P("tirer 2B")=P("tirer 2 parmi 3 et tirer 1 boule parmi les 9 autres boules N, V ou R) = C(3,2)*C(9,1)/C(12,3) = 27/220

P([X=3]) P("tirer 3B")=P("tirer 3 parmi 3 ) = C(3,3)/C(12,3) = 1/220

2°) Pour gagner, il faut tirer au moins 2 boules blanches, mais on estime qu'un joueur sur 10 est un tricheur et qu'un tricheur gagne avec une probabilité de 1/2.

On note T l'événement "être un tricheur", Tbarre l'événement contraire de T et G l'événement "gagner au jeu"

a) Calculer la probabilité de l'événement "gagner pour un non tricheur" c'est-à-dire P(G/Tbarre)
p(G/Tbarre) = P([X>=2])= P([X=2 ou X=3])= P(X=2)+P([X=3])=27/220 + 1/220 = 28/220 = 7/55 car les événements sont disjoints.

En déduire la probabilité de l'événement G inter Tbarre
p(Tbarre) = 1 - P(T) = 1 - 1/10 = 9/10
p(GinterTbarre) = P(Tbarre) P(G/Tbarre)= 9/10 * 7/55 = 63/550

b)Calculer P(T inter G)
P(Tinter G) = P(T) P(G/T) = 1/10 * 1/2 = 1/20

c) Démontrer que la probabilité de l'événement G est 181/1100

P(G) = P(G inter l'univers) = P(G inter ( T union Tbarre)) = P((G inter T) union (G inter Tbarre))
= P(G inter T) + P(G inter Tbarre) car les (G inter T) inter (G inter Tbarre) = G inter (T inter Tbarre) = G inter l'ensemble vide = l'ensemble vide

donc p(G) = P(G inter T) + P(G inter Tbarre) = 1/20 + 63/550 = 181/1100

d) Calculer la probabilité qu'une personne qui a gagné soit un tricheur.

p(T/G) = P(T inter G) / p(G) = 1/20 / 181/1100 /= 35 /181