Exercice 1 – Progression arithmétique

On suppose que a, b et c sont dans cet ordre 3 termes consécutifs d’une suite arithmétique.

Déterminer ces nombres sachant que a + b + c = 243 et a² + b² + c² = 20133

Corrigé :

a,b,c sont solutions du système des 3 équations suivantes :

b = (a + c) /2

a + b + c = 243

a² + b² + c² = 20133

Ce système après résolution est équivalent au système :

b = 81 

a et c sont les solutions de l’équation X² – 162 X + 6336 = 0

donc S = {(96,81,66) ;(66,81,96)}

Exercice 2 – Progression géométrique

On suppose que a, b et c sont dans cet ordre 3 termes consécutifs d’une suite géométrique.

Déterminer ces nombres sachant que a + b + c = 260 et c – a = 160

Corrigé :

a, b et c sont solutions du système suivant :

b² = ac

a + b + c = 260

c – a = 160

donc S = {(20,160,180) ;(500/3, -700/3 ,980/3)}

Exercice 3

Calculer les sommes suivantes :

S₁ = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99 ; S₂ = 2 + 4 + 6 + 8 + …. + 100

S₃ = 2 + 6 + 18 + … + 118 098 ; S₄ = 2 + 2/3 + 2/9 + ..........+ 2/59049

Corrigé :

1 = 2 * 0 + 1 ; 3 = 2 *1 + 1 ; 5 = 2 *2 + 1 ; 7 = 2 *´ 3 + 1 ; … ; 99 = 2 *´ 49 + 1  

donc S₁ = la somme de 50 termes consécutifs d’une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2 = nombre de termes (1er terme + dernier terme)/2 = 50 (1 + 99)/2 = 2500

La TI-92 affiche ce résultat en tapant : F3 sum(2 * k + 1 , k , 0 , 49)

2 = 2 * 1 ; 4 = 2 * 2 ; 6 = 2 *3 ; 8 = 2 *4 ; … ; 100 = 2 * 50  

donc S₂ = la somme de 50 termes consécutifs d’une suite arithmétique de premier terme 2 et de raison 2 = nombre de termes (1er terme + dernier terme)/2 = 50 (2 + 100) /2 = 2550

La TI-92 affiche ce résultat en tapant : F3 sum(2 * k, k , 1 , 50)

u₁ = 2  ; u₂ = 6 = 2 ´ 3 ; u₃ = 18 = 6 ´ 3 ; … ; u_n = 118 098 = 39 366 ´ 3  

On est en présence d’une somme de n termes consécutifs d’une suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3 .

Or u_n = q ^n-1 u₁ donc 3 ^n-1 = 59 049 donc ln(3 ^n-1) = ln(59 049)

donc ( n – 1) ln(3) = ln(59049) donc (n-1) = ln(59049)/ln(3) = 10 donc n = 11

donc S₃ = la somme de 11 termes consécutifs d’une suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3

= premier terme (1 - raison ^{nombre de termes} )/ ( 1 - raison) = 2 ( 1 – 3¹¹ )/(1 - 3)= 177 146

u₁ = 2  ; u₂ = 2 ´ 1/3 ; u₃ = 2/3 ´ 1/3; … ; u_n = 2 / 59049

On est en présence d’une somme de 11 termes consécutifs d’une suite géométrique de premier terme 2 et de raison 1/3.

donc S₄ = premier terme (1 - raison ^{nombre de termes} )/ ( 1 - raison) = 2 ( 1 - ( 1/3)¹¹ /(1 - 1/3)

Exercice 4 – Intérêts simples et Intérêts composés

A - Estéphane place un capital u₀ le 1^er janvier 2002 au taux de t %, les intérêts étant simples.

u_n désigne le capital acquis après n années de placement.

1°) u_n+1 = u_n + t ´ u₀ donc (u_n ) est une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison

r = t ´ u₀

2°) u_n ³ 2 u₀ Û u₀ + n (t ´ u₀) _³ 2 u₀ Û 1 + n t ³ 2

3°) En posant t = 7 et en programmant une boucle d’arrêt sur la calculatrice, déterminer le nombre d’années nécessaires pour qu’un capital placé au taux de 7 % à intérêts composés soit doublé. Justifier ce résultat par les calculs.

TI 89 :

Intsimple()

Prgm

Local t, a,n

ClrIo

Input ‘’taux = ‘’,t

Input ‘’premier terme = ‘’, a

0 -> v

a -> u

0 -> n

while v – 2*u < 0

u + t * a -> v

n + 1 -> n

endwhile

Disp ‘’nombre années = ‘’,n

Endprgm

Casio :

u_n ³ 2 u₀ Û u₀ + n (0,07 ´ u₀) _³ 2 u₀ Û 1 + 0,07 n ³ 2 Û 0,07 n ³ 1 Û n ³ 1 /0,07

Or 1 / 0,07 » 14,28 donc n = 15 ans

B - 1°) Exprimer v_n+1 = v_n + t ´ v_n = ( 1 + t) v_n donc la suite (v_n ) est une suite géométrique de premier terme v₀ et de raison q = (1 + t)

2°) v_n ³ 2 v₀ Û ( 1 + t)ⁿ v_{0 ³} 2 v₀ Û ( 1 + t)ⁿ ³ 2 Û ln(( 1 + t)ⁿ) ³ ln(2) Û n ln(1 +t)³ ln(2)

Û n ³

3°) En posant t = 7 et en programmant une boucle d’arrêt sur la calculatrice, déterminer le nombre d’années nécessaires pour qu’un capital placé au taux de 7 % à intérêts composés soit doublé.

v_n ³ 2 v₀ Û n ³ Or » 10,24 donc n = 11 ans

C – On démontre par récurrence que pour tout entier naturel n, (1 + t)ⁿ ³ 1 + nt .

Le placement à intérêts composés est plus intéressant que celui qui est à intérêts simples.

Exercice 6 – Suite arithmético-géométrique

Soit la suite u définie par u₀ = 2 et u_n+1 = 3 u_n – 2 pour tout entier naturel n

1°) La suite est-elle arithmétique ? géométrique ?

2°) Soit (v_n) la suite définie sur N par v_n = u_n – 1. Démontrer que (v_n) est géométrique.

3°) Exprimer v_n puis u_n en fonction de n.

Exercice 7 – La légende du jeu d’échecs par OZANAM (1692)

Un auteur arabe, Al-Sephadi, raconte que le mathématicien Sesa ayant inventé le jeu d’échecs, fut présenté au roi de Perse (actuel Iran). Pour le récompenser, celui-ci promit de lui raconter ce qu’il désirerait. Sesa , très modeste, demanda au roi de faire déposer 1 grain de blé pour la 1^ère case du jeu, 2 pour la 2de, 4 pour la 3^ème, 8 pour la ‘ème et ainsi de suite jusqu’à la dernière case(le jeu d’échecs en renferme 64).

Le prince s’indigna d’une demande qu’il jugeait indigne de sa libéralité et fut bien étonné lorsqu’il apprit qu’il lui serait impossible de la satisfaire. En effet :

1°) Combien de grains de blé devrait-on mettre sur la dernière case ?

2°) Combien de grains de blé en tout le roi s’est-il engagé à donner ?

2°) Sesa voulut alors s’en aller avec tout le blé. Un grain de blé pesant en moyenne 0,05 g et qu’un bateau de l’époque transportant 10 000 tonnes ,quelle armada de bateaux fallait-il pour transporter ce blé ?

Exercice 8 – Zénon d’Elée et Diogène le Cynique

Zénon d’Elée est un philosophe grec du 5^ème siècle avant Jésus Christ qui prétendait démontrer l’impossibilité du mouvement en utilisant quelques paradoxes célèbres .Etudions le paradoxe de la flèche.

Voici l’argumentation : " Une flèche lancée d’un point A ne peut pas atteindre la cible en B. En effet, il lui faudra auparavant parcourir la moitié de la distance AB puis la moitié de la distance restante ce qui l’amènera aux du trajet. Mais avant d’effectuer le dernier quart, la flèche doit parcourir la moitié de ce dernier quart, etc .. Et ainsi de suite : une infinité de moitiés successives à parcourir "

Que répondre à une telle argumentation ?

Supposons , pour fixer les idées que AB = 10 m et que la vitesse de la flèche est de 10 m/s.

1°) Quel est le temps mis par la flèche ?

2°) A chaque étape du raisonnement de Zénon , la flèche doit parcourir la moitié de la distance restante. Notons r_n la distance restante à l’instant n.

1. Montrer que r_n = 10 / 2ⁿ
2. Calculer la distance d_n parcourue par la flèche à l’étape n. calculer le temps tn mis pour parcourir cette distance. Vérifier que d_n < 10 et que t_n < 1.
   Ainsi on peut affirmer qu’à chaque étape du raisonnement de Zénon, la flèche n’a pas atteint le point B et c’est tout !

3°) Déterminer la limite de d_n et la limite de t_n quand n tend vers + µ .

Interpréter alors l’expression "  une infinité de moitiés successives à parcourir "

Les paradoxes de Zénon soulèvent des problèmes philosophiques profonds en ce qui concerne la notion d’espace-temps et on ne peut pas y répondre aussi légèrement que Diogène le cynique qui lui se leva de son tonneau et marcha de A vers B.

En fait, le problème philosophique soulevé est celui-ci : " le temps est-il sécable ? "

Un autre paradoxe est celui d’Achille et la tortue : Achille aux pieds ailés donne 100 m d’avance à une tortue et court 10 fois plus vite qu’elle. Mais il n’arrive jamais à la rattraper ayant toujours un écart à rattraper.

Exercice 9 (suites et complexes, limites et points limites)

On définit la suite de nombres complexes (zn) définie de la façon suivante :

z₀ = 1 et pour tout entier naturel n, z_n+1 = (1/3) z_n + (2/3)i

1°) Pour tout entier naturel n , on pose u_n=z_n - i

a) Calculer u_n+1 en fonction de u_n pour tout entier naturel n

u_n+1 = z_n+1 - i = (1/3) z_n + (2/3)i - i =(1/3) (z_n - i) = (1/3) u_n donc (u_n) est une suite géométrique de nombres complexes de premier terme u₀= z₀ - i = 1 - i

b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, l'on a :

u_n=(1 - i) (1/3)ⁿ

Soit la propriété P(n) :"u_n=(1 - i) (1/3)ⁿ"

étape 1 : a -t-on P(0) vraie ? c'est-à-dire a-t-on u₀=(1 - i) (1/3)⁰ ? c'est-à-dire a-t-on u₀=1 ? oui

étape 2 : démontrons l'implication logique pour tout entier naturel k , P(k) entraîne P(k+1)

c'est-à-dire u_k=(1 - i) (1/3)^k entraîne u_k+1=(1 - i) (1/3)^k+1

Supposons u_k=(1 - i) (1/3)k donc u_k+1= (1/3)uk = (1/3)(1 - i) (1/3)^k= (1 - i) (1/3)^k+1

étape 3 :

d'après les étapes 1 et 2, on peut conclure que pour tout n , la propriété P(n) est vraie pour tout entier naturel n.

2°)

a) Exprimer, en fonction de n, la partie réelle x_n et la partie imaginaire y_n de u_n

u_n=(1 - i) (1/3)ⁿ donc u_n=(1/3)ⁿ-(1/3)ⁿ i donc x_n =(1/3)ⁿ et y_n = -(1/3)ⁿ

Calculer les limites des suites ( x_n) et ( y_n)

Comme la limite en plus l'infini de (1/3)ⁿ vaut 0 car -1 < 1/3 < 1 alors la limite de la suite (x_n)vaut 0 et la limite de la suite (y _n) vaut 0.

b) On note ( A_n ) le point du plan complexe d'affixe u_n et Bn le point du plan complexe d'affixe z_n

Calculer le module et un argument de u_n

module de u_n = module((1 - i) (1/3)ⁿ ) = module(1 - i) module ((1/3)ⁿ ) = ((1/3)ⁿ * racine carrée (2)

car module (1 - i) = racine carrée de 1² + (-1)² et module (1/3)ⁿ est (1/3)ⁿ car (1/3)ⁿ est un réel positif.

argument de u_n = argument((1 - i) (1/3)ⁿ ) = argument(1 - i) + argument((1/3)ⁿ ) = -pi/4 +0

car argument (1 - i) = - pi/4 et argument (1/3)ⁿ est 0 + 2 k pi car (1/3)ⁿ est un réel positif.

Démontrer que les points A_n sont alignés puis en déduire que les points B_n sont alignés. Illustrer ces résultats.

Comme argument de u_n = -pi/4 alors les points A_n d'affixe u_n sont sur la demi-droite DD d'origine 0(0;0) et d'angle polaire -pi/4

Comme z_n = u_n + i alors les points B_n d'affixe z_n sont les images des points A_n par la translation de vecteur d'affixe i donc les points B_n sont sur l'image de la demi-droite DD par cette translation c'est-à-dire la demi-droite d'origine B(0;1) et d'angle polaire -pi/4.

On peut remarquer que le point O est le point limite des points A_n et que le point B est le point limite des points B_n quand n tend vers plus l'infini d'après la question 2°) a)

Exercice 10 (suite d'intégrales)

Soit la suite (I_n) définie sur N par I_n = l'intégrale de 1 à e de (ln(x))ⁿ dx

1°) Calculer I₀ puis I₁

2°) En intégrant par parties, déterminer la relation existant entre I_n et I_n-1 pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1.

3°) En déduire alors la valeur de I₄

Corrigé Partiel:

1°) I₀ = l'intégrale de 1 à e de (ln(x)0 dx = l'intégrale de 1à e de 1 dx = [x] de 1 à e = e - 1

En utilisant une intégration par parties on peut alors calculer,

I₁ = l'intégrale de 1 à e de ln(x) dx = [x ln(x) - x ] de 1 à e = (e ln(e)-e) -(1 ln(1) -1) = e - e + 1 = 1