Exercice 1

Soit (u_n) une suite définie sur N par la connaissance de u0 et la relation de récurrence suivante :
u_n+1 = (a u_n + b) /(c u_n + d ) avec c différent de 0 et ad - bc différent de 0
1°) La suite (u_n) est-elle définie pour tout n entier naturel ?

oui à la seule condition que le dénominateur de u_n+1 ne s'annule pas , c'est-à-dire que u_n soit tel que pour tout n l'on n'ait jamais u_n= - d/c

2°) On note (E) l'équation d'inconnue réelle x suivante: x = (a x + b)/( c x + d)
Montrer que si (E) n'a pas de racine réelle alors la suite (u_n) n'a pas de limite.

Nous devons donc démontrer que p implique q est vraie avec p :"(E) n'a pas de racine réelle " et q : "la suite (u_n) n'a pas de limite "
Pour cela, nous allons démontrer la contraposée de p implique q qui est non(q) implique non (p).
Pour cela supposons que non(q) est vraie c'est-à-dire que (u_n) a une limite L . donc quand n tend vers plus l'infini, u_n tend vers L mais u_n+1 aussi.
Or u_n+1 = f(u_n) avec f(x) = (a x + b)/ (c x + d) . f étant continue en L car L -d/c .
De plus , la limite d'une suite lorsqu'elle existe est unique donc L = ( a L + b) / (C L+ d) donc (E) a au moins une solution L.

3°) On suppose dans cette question que l'équation (E) admet deux racines distinctes a et b.
On pose v_n = (u_n - a)/( u_n - b)
a) Montrer que (v_n) est une suite géométrique dont on déterminera la raison q.
On vérifiera en particulier que q est bien non nulle.

v_n+1 = (u_n+1 - a)/( u_n+1 - b) = ((a u_n + b)/( cu_n + d) - a)/( (a u_n + b)/( cu_n + d) - b)
= ((a u_n + b - a( cu_n + d))/( cu_n + d))/( (a u_n + b - b( cu_n + d))/( cu_n + d)
= ((a u_n + b - a( cu_n + d))/( (a u_n + b - b( cu_n + d))
= (u_n ( a - a c) + b - a d)/( u_n ( a - b c) + b - b d)
Or a est solution de (E) donc a = ( a a + b) / ( c a + d) donc c a ² + d a = a a + b donc a ( ac - a) = b - d a

De même , comme b est aussi solution de (E) l'on a par analogie b ( b c - a) = b - d b
donc v_n+1 = (u_n ( a - a c) + a ( ac - a))/( u_n ( a - b c) + b ( b c - a)) = (( a - a c)/ ( a - b c)) (u_n - a)/( u_n - b)

donc v_n+1 = q v_n .
q existe car b c - a ne s'annule pas. en effet, si b c - a s'annulait, on aurait b = a / c . Mais comme
b = ( a b + b) / ( cb + d) on aurait a / c = (a a /c + b)/(ca /c + d) donc on aurait a/c = (a ² + bc)/(a c + dc)
donc a ² c + adc = a² c + b c² donc a dc = b c² donc c(ad - bc) = 0 impossible car c 0 et ad - bc 0
q ne s'annule pas non plus car si q s'annulait on aurait ac - a = 0, on aurait a = a / c . Mais comme
a = ( a a + b) / ( ca + d) on aurait a / c = (a a /c + b)/(ca /c + d) donc on aurait a/c = (a ² + bc)/(a c + dc)
donc a ² c + adc = a² c + b c² donc a dc = b c² donc c(ad - bc) = 0 impossible car c 0 et ad - bc 0

En conclusion (v_n) est une suite géométrique de raison q = ( a - a c)/ (a - b c)
b) En déduire la limite éventuelle de la suite (u_n) en fonction de q.

Comme v_n = (u_n - a)/( u_n - a) alors v_n u_n - v_n b = u_n -a donc u_n (v_n - 1 ) = bv_n -a donc u_n =( bv_n -a) /(v_n - 1 ) = v_n( b -a / v_n) /v_n(1 - 1/v_n )

4°) On suppose dans cette question que l'équation (E) admet une racine double a.
a) On suppose qu'il existe un entier m tel que u_m = a . Démontrer qu'alors pour tout entier n supérieur à m l'on a u_n = a

Démontrons cette propriété par récurrence.

Elle est vraie en m.

S'il existe un entier k supérieur à m tel que uk = a alors u_k+1 = a uk + b / cuk + d =a a + b / ca + d = a

En conclusion pour tout entier n supérieur à m l'on a u_n = a

b) On suppose que pour tout entier naturel n l'on a u_n différent de a . On pose alors v_n = 1/( u_n - a)
Démontrer que (v_n) est une suite arithmétique. En déduire la limite éventuelle de la suite (u_n)

Comme u_n différent de a, v_n = 1/(u_n - a) existe donc u_n - a = 1/v_n donc u_n = a +1/v_n

v_n+1 = 1/(u_n+1 - a) = 1/((a u_n + b)/( cu_n + d)- a) = (cu_n + d)/(a u_n + b - acu_n - a d) =
(cu_n + d)/((a -ca)(u_n - a ) = (c(a +1/v_n) + d)/((a -ca ) ( a +1/v_n -a)) = ((c(1 + av_n) + dv_n)/v_n)/((a -ca )(1/v_n)) = ((c + (ca + d)v_n)/(a -ca ) = c/(a -ca ) + ((ca + d)/(a -ca ))v_n

Or a est la solution double de (E) : x = a x + b / cx + d qui est équivalente à x (c x + d) = ax = b c'est-à-dire à cx² + x (d - a) - db = 0
donc a = - ( d - a) / 2 c = ( a - d) / 2c
donc (ca + d)/(a -ca ) = (c(( a - d) / 2c) + d)/(a -c((a - d) / 2c) ) = (ac - cd + 2cd)/( 2 ac - ca + cd)
= ( ac + cd)/ (ac + cd) = 1
donc v_n+1 = v_n + c/(a -ca ) donc (v_n) est une suite arithmétique de raison r = c/(a -ca )
La raison s'écrit aussi r =c/( a - c( (a -d)/2c) = 2 c / (2 a - a + d) = 2c / ( a + d)

comme r est non nulle alors (v_n) tend vers l'infini (avec le signe de r) . Or u_n = a +1/v_n donc (u_n tend vers a
5°) Etudier alors les suites suivantes :
exemple 1 : u₀ =0 et u_n+1 = (2 u_n + 1)/( 1 u_n + 2)

On suppose que pour tout n ,l'on a u_n -2.
On peut prouver par récurrence que pour tout n, l'on a u_n > 0
Soit l'équation (E) : x = (2 x + 1) / ( x+ 2) Elle est équivalente à x² + 2 x = 2 x + 1 c'est-à-dire x² = 1 qui a pour solutions a = -1 et b = 1. alors la suite (v_n) définie par v_n = (u_n + 1 )/(u_n - 1) est une suite géométrique de raison q = (2 + 1)/(2 - 1) = 3 donc (v_n ) tend vers + l'infini et (u_n) tend vers b = 1.
On peut le vérifier à l'aide d'une calculatrice.

exemple 2 : u₀ =1 et u_n+1= -1/( u_n - 2)

On suppose que pour tout n ,l'on a u_n 2.
Soit l'équation (E) : x = - 1 / ( x - 2) Elle est équivalente à x² -2 x = - 1 c'est-à-dire x² - 2 x +1 = 0 qui a pour solution double a = 1 . alors la suite (v_n) définie par v_n = 1/(u_n - 1) est une suite arithmétique de raison r = -1 donc (v_n ) tend vers -l'infini et (u_n) tend vers a = 1.

En fait, on peut démontrer par récurrence que pour tout n, l'on a u_n = 1.

On peut le vérifier à l'aide d'une calculatrice.