Un triangle obéit à la propriété de l'inégalité triangulaire connue plus communément sous l'adage suivant :"la ligne droite est le plus court chemin"

En vertu de cet adage, résoudre les 4 problèmes suivants :

Problème 1 :
Peut-on former un triangle avec 3 brindilles qui mesurent respectivement : 11 cm, 6 cm et 4 cm ?

Non, car les 3 inégalités suivantes doivent être vérifiées simultanément :
11 + 6 > = 4 ; 11 + 4 > = 6 ; 6 + 4 >= 11.
Or la 3ème est fausse donc cette construction est impossible.

Problème 2:

Peut-on trouver un entier x tel que le triangle ABC a des côtés de longueur AB = 4 x ; BC = 5 x et CA = 5 ?.

oui , car il faut 4x >= 0 et 5 x > = 0 et 4x + 5x >= 5 et 4x + 5 > = 5x et 5x + 5 >= 4x

c'est-à-dire x > =0 et 9x >=5 et 5 >= x et x >= -5

c'est-à-dire x>=5/9 et x <= 5.

Or 5/9 vaut environ 0,55 donc 5 valeurs de x sont possibles x = 1 ; x = 2 ; x = 3 ; x = 4 et x = 5

Dans uniquement ces 5 cas, les 3 inégalités triangulaires sont vraies

.Problème 3:

Soient x et y des réels.
On voudrait construire un triangle propre dont les côtés vont mesurer 1, x et y.

1°) Déterminer l'ensemble S₁ des points M de coordonnées (x ; y) permettant cette construction
Il faut x > 0 et y > 0 et x + y > 1 et 1 + x > y et 1 + y > x. On doit donc dessiner le polygône des 5 contraintes ; x > 0 ; y > 0 ; x + y -1 > 0 ; x - y + 1 > 0 ; - x + y + 1 > 0.

Il faut prendre les points M(x,y) situés dans la zone blanche ci-dessous :

2°) Quel est l'ensemble S₂ des des points M de coordonnées (x ; y) tels que le triangle soit isocèle ?

Il faut en plus que soit x = 1 ou y = 1 ou x = y . Il faut prendre les points M(x,y) situés dans la zone blanche et sur la réunion des droites x = 1 , y = 1 et x = y

3°) Quel est l'ensemble S₃ des des points M de coordonnées (x ; y) tels que le triangle soit équilatéral ?
C'est le point M(1,1) car il faut x = y = 1

Problème 4 :

Soit une rivière (D) et deux villes A et B situées du même côté de la rivière. Un camion souhaite aller de la ville A à la ville B mais il doit absolument passer déposer un colis en un point M sur le bord de cette rivière.
Où doit se trouver le point M sur (D) pour que le trajet AMB soit le plus petit possible ?

Soit A' le symétrique du point A par rapport à (D)

AM + MB minimum équivaut à A'M + MB minimum ce qui équivaut à A', M et B alignés

On peut également trouver le même ponit M en faisant un raisonnement analogue avec nt B' symétrique de B par rapport à A