LA FONCTION DE PRODUCTION DE James COBB et Paul DOUGLAS

Une entreprise produit des biens B dont la fabrication nécessite :

• un certain volume d'heures de travail désigné par x dans la suite (avec x > 0)
• un certain volume d'équipements désigné par y dans la suite (avec y > 0)

On suppose que la quantité de biens B produits avec un volume d'heures de travail égal à x et un volume d'équipements y est :

f(x,y) = x^a y^b où 0 < a < 1 et 0 < b < 1

On suppose enfin que le coût horaire du travail est égal à u et le coût unitaire des équipements est ègal à v de telle sorte que le coût de la production à volumes de travail et d'équipement x et y donnés est :

g(x,y) = u x + v y

1°) Rendement d'échelle a + b

On multiplie par une même constante l > 0 le volume x des heures de travail et le volume y des équipements.

Par quel facteur est multipliée la quantité produite ?

Comment interpréter économiquement la position du nombre a + b par rapport à 1 ? (étudier cette interprétation dans le cas où par exemple l'entreprise ouvre un deuxième site identique de production)

2°) Etude d'un cas particulier

On suppose dans cette question( et seulement dans celle-ci) que a = b = et u = 4 et v = 1

1. Vérifier que l'ensemble des points (x , y) avec x > 0 , y > 0 tels que f(x , y) = 2 est la courbe d'équation y = 4/x
2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe d'équation y = 4/x au point d'abscisse 1
3. Construire sur une même figure ( unité 2 cm) les ensembles des points (x, y) tels que :

• x > 0 , y > 0 et f(x, y) = 2
• x > 0 , y > 0 et g(x, y) = 8
• x > 0 , y > 0 et g(x, y)= 10
  Déterminer les points d'intersection du premier de ces ensembles avec les deux suivants et donner une interprétation de ces points en termes de production et de coût de production.
  
  Répondre aux deux questions suivantes en justifiant graphiquement votre raisonnement :

• Pour une production égale à 2, quel est le coût minimal K envisageable ?
• Pour un coût égal à 8, quelle est la quantité produite maximale Q envisageable ?

3°) Optimisation de la quantité produite à niveau de coût donné
On étudie dans cette question la maximisation de la quantité produite Q = f(x,y) en supposant que le coût de production K = g(x,y) est donné.

Autrement dit, on cherche à maximiser Q = f(x,y) sous la contrainte de coût K = g(x,y)

1. Montrer que ce problème équivaut à maximiser la fonction de la variable x définie par
   F(x) = f(x, (K - ux)/v) avec 0 < x < K/u
2. Calculer F'(x) et montrer que F'(x) est du signe de Ka - (a + b) ux
3. En déduire les variations de la fonction F et les valeurs de x et de y qui permettent d'optimiser la quantité produite Q = f(x,y) sous la contrainte de coût g(x,y) = K
4. En déduire que la quantité produite optimale Q pouvant être obtenue sous la contrainte de coût
   g(x,y) = K est de la forme Q = c K^a+b où c est une constante dépendant de a, b, u et v que l'on explicitera.
   On précisera la forme particulière du résultat obtenu lorsque a + b = 1

4°) Optimisation du coût à niveau de production donné

On étudie dans cette question la minimisation du coût de production K = g(x,y) en supposant que la quantité à produire Q = f(x,y) est donnée.
Autrement dit, on cherche à minimiser K = g(x,y) sous la contrainte de production Q = f(x,y)

1. Montrer que ce problème équivaut à minimiser la fonction de la variable x définie par :
   G(x) = g( x, Q ^1/b / x ^a/b) avec x > 0
2. Déterminer G'(x), en déduire les variations de la fonction G et les valeurs de x et de y qui permettent d'optimiser le coût de production K = g(x,y) sous la contrainte Q = f(x,y)
3. En déduire que le coût optimal K pouvant être obtenu sous la contrainte de production
   Q = f(x,y) est de la forme K = d Q^1/(a+b) où d est une constante dépendant de a, b , u et v que l'on explicitera.
   On précisera la forme particulière du résultat obtenu lorsque a + b = 1
4. Comparer à l'expression de Q en fonction de K obtenue à la fin de la question 3°)
   Conclure.
   

Corrigé disponible à partir du 22/11/2003 00:00:00