Vous utiliserez le théorème suivant :

Pour résoudre l’inéquation u x + v y + w > 0 d’inconnue le couple de réels (x,y) et où u, v, w sont des réels avec la condition suivante : u et v ne sont pas simultanément nuls

1°) On dessine la droite D d’équation u x + v y + w = 0 . Les coordonnées (x,y) des points M de cette droite vérifient donc l’équation u x + v y + w = 0

2°) Cette droite D partage le plan en deux demi-plans dP₁ et dP₂ :

toutes les coordonnées (x,y) des points M de dP₁ vérifient l’inéquation

u x + v y + w > 0

toutes les coordonnées (x,y) des points M de dP₂ vérifient l’inéquation

u x + v y + w > 0

3°) Pour trouver donc le signe (+ ou - ) de ux + v y + w affecté à un demi-plan, il suffit de choisir les coordonnées (a,b) d’un point quelconque de cette région. Si par exemple, on trouve u a + v b + w > 0 tout le demi-plan est affecté du signe + et l’autre demi-plan est affecté du signe –

Exercice 1

Soient les fonctions de deux variables réelles f et g définies sur R² par

f(x,y) = x + y + 1 et g(x, y) = x – y + 1

1°) Résoudre graphiquement l’inéquation suivante f(x,y) <= 0.

Dans un repère cartésien R₁, on hachurera la zone à rejeter.

Lorsque la frontière n'est pas comprise dans l'ensemble des solutions, on trace la droite en pointillés

2°) Résoudre graphiquement l’inéquation suivante g(x,y) > 0

Dans un repère cartésien R₂, on hachurera la zone à rejeter.

Lorsque la frontière n'est pas comprise dans l'ensemble des solutions, on trace la droite en pointillés

3°) Résoudre graphiquement le système d’inéquations suivante

Dans un repère cartésien R₃, on hachurera la zone à rejeter.

4°) Résoudre graphiquement l’inéquation-produit suivante f(x,y)g(x,y) >= 0

Dans un repère cartésien R₄, on hachurera la zone à rejeter.

Exercice 2

Caractériser par un système d’inéquations chacune des deux zones suivantes 

La zone ABC où A(-2;0) et B (resp C) est le point d'intersection de la droite bleue et de la droite marron (resp rouge)

Exercice 3 : Une application économique

Au moment des fêtes, un artisan chocolatier CACODOU propose des assortiments de chocolats par ballotins de 500 g :

• "Succès" : 60 % de chocolats au lait, 20 % de chocolats noirs et le reste en chocolats divers.
• "Passion" : 80 % de chocolats noirs et le reste en chocolats divers
• "Evasino" : la moitié de chocolats divers, 40 % de chocolats noirs et 10 % de chocolats au lait.

1°) Pour sa soirée de fin d'année 2002, Man TINE a commandé des chocolats.

Elle a pu mettre sur son buffet 2 kg de chocolats noirs, 1,5 kg de chocolats au lait et 2 kg de chocolats divers.

Calculer le nombre de ballotins de chaque sorte qu'elle a acheté fin 2002.

2°) Pour la fin 2003, le chocolatier CACODOU propose les mêmes assortiments. Man TINE passe commande de x ballotins "Succès" et de y ballotins "Passion".

Elle désire proposer à ses invités au moins 1,8 kg de chocolats noirs, 1,2 kg de chocolats au lait et 900 g de chocolats divers.

1. Justifier que les contraintes se traduisent par le système suivant :
   x entier naturel > 0 et y entier naturel > 0 et x + 4 y > = 18 et 3 x >= 12 et X + y >=9
   
2. Dans un repère orthonormal, représenter l'ensemble des points M(x;y) du plan dont les coordonnées vérifient le système ci-dessus.
3. Le prix d'un ballotin "Succès" est de 15 € et celui du ballotin "Passion" est de 30 €
   1 - Exprimer le coût total de cet achat pour Man TINE en fonction de x et de y.
   2 - Tracer la droite correspondant à un coût de 210 €
   3 - Existe-t-il des points solutions du système situés en dessous de cette droite ? lesquels ?
   4 - Déterminer graphiquement le nombre de ballotins de chaque sorte acheté qui permet à Man TINE un coût total minimum. Expliquer la méthode employée.
   5 - En déduire le coût total de son achat pour la fin 2003.

Corrigé disponible à partir du 22 Novembre 2003 00:00:00