Ex 1
Parmi les élèves d'une classe, 16 étudient au moins l'anglais, 13 étudient au moins l'espagnol, 13 étudient au moins l'allemand, 4 étudient au moins l'anglais et l'espagnol, 6 étudient au moins l'espagnol et l'allemand, 5 étudient au moins l'anglais et l'allemand et 3 étudient les 3 langues.
En supposant que dans cette classe, chaque élève étudie au moins l'une de ces trois langues , déterminer le nombre d'élèves de cette classe.
On illustrera cette situation par un diagramme de Venn.

Ex 2
SONIA KAI une revendeuse de chaines hi-fi propose à sa clientèle :
3 modèles de platine dont 1 de marque japonaise
4 modèles d'amplificateurs-tuners dont 2 de marque japonaise
5 modèles de paires de baffles dont 2 de marque japonaise
1°) En supposant que ces matériels soit compatibles, combien de chaînes différentes peut-on composer en choisissant une platine, un amplificateur-tuner et une paire de baffles.
2°) Combien reste-t-il de choix pour le client JEKASEMAMOTO désirant qu'au moins 2 des 3 composants de sa chaîne soient japonais ?

Ex 3
E est un ensemble de 100 pièces fabriquées par une machine à qui l'on fait subir deux contrôles C et C'. A est l'ensemble des pièces acceptées par A et B l'ensemble des pièces acceptées par C'.
On suppose que 72 pièces sont acceptées par C, 76 pièces sont acceptées par C' et que 22 pièces sont refusées à la fois par C et C'. Calculer :
a) le nombre de pièces acceptées par au moins un contrôle
b) le nombre de pièces acceptées par un et un seul contrôle.

Ex 4
Une ville de n habitants compte 48 % d'hommes et 52 % de femmes. On sait que 5% des hommes et 3% des femmes sont atteints d'une maladie M.
a) Calculer la proportion des habitants de la ville atteints de la maladie M
b) Calculer la proportion de femmes parmi les habitants atteints de la maladie M.

Ex 5
Exprimer en fonction de n et sans factorielle les nombre suivants :
A = 12 ! / 9 ! ; B = 8 ! / 4 (4 !) ; C = (n + 2) ! / n ! ; D = n ! / (n + 1) ! - (n - 1)! / n ! ;
E = (2 n + 2) ! / (2 n - 1)!

Ex 6
Résoudre les équations suivantes d'inconnue n entier naturel
a) C_n² = 36 b) A_n³ = 90 n

Ex 7
Développer pour tout réel x les expressions suivantes :
(x + 1)⁵ ; (x - 2)⁵; (2 x - 1)⁶; (1 - x)⁶

Ex 8

Soit n un entier naturel donné.

1°) Dénombrer l'ensemble des couples d'entiers naturels (x,y) solutions de l'équation x + y = n

2°) Dénombrer l'ensemble des couples d'entiers naturels (x,y) solutions de l'équation x + 2 y = n

On distinguera les cas n pair et n impair.

Corrigé :

1°) Comme x et y sont des entiers naturels alors x et y sont positifs.

Comme x = n - y et que y est positif alors x est inférieur ou égal à n.

Idem pour y.

De plus, leur somme vaut n.

Alors l'ensemble des solutions S = { ( 0, n ) ;( 1 , n - 1) ; (2, n- 2) ; ... ( n - 1 , 1 ) ; ( n , 0) }

Card (S) = n + 1

2°) ou bien n est pair donc n = 2 k où k est un entier naturel.

Comme x + 2 y = n et que 2 y est pair ainsi que n alors x est forcément pair.

Comme pour le 1°) x et 2y varient entre 0 et n.

D'où (x, 2y) = (0 , n ) , (2 , n - 2 ) , (4 , n - 4) ...( n , 0)

donc (x , y) = (0 , n / 2) , (2 , (n - 2)/2 ) , (4 , (n - 4)/2) ...( n , 0)

donc card (S) = 1 + k = 1 + n/2 = ( 2 + n) /2

ou bien n est impair donc n = 2 k + 1 où k est un entier naturel.

Comme x + 2 y = n et que 2 y est pair et que n est impair alors x est forcément impair.

Comme pour le 1°) x et 2y varient entre 0 et n.

D'où (x, 2y) = (1 , n - 1 ) , (3 , n - 3) , (5 , n - 5) ...( n , 0)

donc (x, y) = (1 , (n - 1 )/2) , (3 , (n - 3)/2) , (5 , (n - 5)/2) ...( n , 0)

donc card (S) = 1 + k = 1 + (n - 1)/2 = ( 1 + n) /2

Ex 9, 10,11 :(voir cas particuliers sur le site du palais de la découverte à Paris)

Ex 12

On considère dans le plan n droites D₁, D₂, ...D₃ deux à deux sécantes et trois à trois non concourantes. On note an le nombre de régions délimitées par ces n droites.

1°) Calculer a₁, a₂, a₃.

2°) Les droites D₁, D₂, ..., D_n-1 délimitent an-1 régions.
Combien s'entre elles sont partagées en deux par la droite D_n?

(On déduira cet entier du nombre de points d'intersection de D_n avec D₁,D₂,..., D_n-1)

3°) Démontrer par récurrence que 1 + 2 + ... + n =n ( n + 1 )/2
En déduire l'expression de an en fonction de n.