SUITES HOMOGRAPHIQUES

Dernière modification le samedi 26 octobre, 2002

Exercice 1 Soit (un) une suite définie sur N par la connaissance de u0 et la relation de récurrence suivante : un+1 = (a un + b) /(c un + d ) avec c différent de 0 et ad - bc différent de 0 1°) La suite (un) est-elle définie pour tout n entier naturel ? 2°) On note (E) l'équation d'inconnue réelle x suivante: x = (a x + b)/( c x + d) Montrer que si (E) n'a pas de racine réelle alors la suite (un) n'a pas de limite. 3°) On suppose dans cette question que l'équation (E) admet deux racines distinctes a et b. On pose vn = (un - a)/( un - b) a) Montrer que (vn) est une suite géométrique dont on déterminera la raison q. On vérifiera en particulier que q est bien non nulle. b) En déduire la limite éventuelle de la suite (un) en fonction de q. 4°) On suppose dans cette question que l'équation (E) admet une racine double a. a) On suppose qu'il existe un entier m tel que um = a . Démontrer qu'alors pour tout entier n supérieur à m l'on a un = a b) On suppose que pour tout entier naturel n l'on a un différent de a . On pose alors vn = 1/( un - a) Démontrer que (vn) est une suite arithmétique. En déduire la limite éventuelle de la suite (un) 5°) Etudier alors les suites suivantes : exemple 1 : u0 =0 et un+1 = (2 un + 1)/( 1 un + 2) exemple 2 : u0 =1 et un+1= -1/( un - 2) Corrigé :