Théorème :

Si u, v sont dérivables sur un intervalle [a;b]

Si u' et v' sont continues sur [a ;b]

Alors l'intégrale de u(x) v'(x) dx sur [ a; b] = [ u(x) v(x)] entre a et b - l'intégrale de u'(x) v(x) dx sur [ a; b]

Démonstration évidente :

grâce à la formule suivante (u(x) v(x))' = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) donc u(x) v'(x) = (u(x) v(x))' - u'(x) v(x)

Remarque :

En général, on utilise l'intégration par parties quand f(x) a la forme suivante :

• polynôme * exponentielle
• polynôme * ln
• polynôme * sin
• polynôme * cos
  

Si le polynôme est de degré n alors il faudra n intégrations par parties.

Exercice :

Calculer I l'intégrale de x cos(x) dx puis J l'intégrale de x2 sin(x) dx

Il y a des cas où il faut faire preuve d'imagination pour découvrir ce qu'est le v'(x)

Exercice :

Déterminer une primitive de la fonction logarithme népérien sur R+*.

Corrigé :

Il faut donc calculer l'intégrale de ln(x) dx.

Posons u(x) = ln(x) et v'(x) = 1 . On a donc u'(x) = 1/x .On peut de plus choisir v(x) = x.

Comme u, u', v et v' sont dérivables sur R+* alors on peut intégrer par parties

I = [x ln(x) ] - l'intégrale de x * 1/x dx = [x ln(x)] - l'intégrale de 1 dx = [x ln(x)] - [x] = [xln(x) -x]

donc une primitive de ln est la fonction F définie par F(x) = x ln(x) - x