Exercice

Soit un triangle équilatéral ABC de côté a où a est un réel > 0. Nous noterons T₀ ce triangle ABC.

Soient A', B' et C' les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB].

On construit ainsi le triangle A'B'C' que nous noterons T₁.

On réitère ce procédé pour construire A", B" et C" les milieux respectifs des côtés [B'C'], [A'C'] et [A'B']. On construit ainsi le triangle A'B'C' que nous noterons T₂.

1°) Faites une figure

2°) On obtient ainsi une suite (T_n ) de triangles équilatéraux. Nous allons nous intéresser à la suite (A_n ) des aires des triangles T_n

• Exprimer A₁ en fonction de a
• En déduire alors la valeur de A₂ et de A₃ en fonction de a
• Que peut-on dire de la suite (A_n) ?
• Déterminer alors la valeur de A_n en fonction de a et de n
• Quelle est la limite de A_n quand n tend vers plus l'infini ?
• A l'aide d'une calculatrice, déterminer à partir de quel rang n l'aire A_n est-elle inférieure à 0,001 ?