Le casse-tête de Ti-Asson de Saint Pierre :

Ti- Asson a gagné au poker chez Bébé Faïs un terrain en forme de triangle équilatéral bordé par 3 routes [AB], [AC] et [BC].

Sa doudou Julia Kabos voudrait qu’il y construise une maison en un point M de telle façon qu’elle soit le moins loin possible des 3 routes bordant le terrain, c’est-à-dire de telle façon que MH + MK + ML soit minimum.

1°) Chercher à l’aide de la souris la position du point M qui minimise cette somme.

Que constate-on ? Que dire à ti-Asson ?

2°) Soit a la longueur du côté du triangle équilatéral. Soit I le pied de la hauteur issue de A.On note h la distance AI.

• Calculer h en fonction de a.
• Calculer l’aire S du triangle ABC en fonction de a.

3°) Soit S₁ l’aire du triangle AMC, S₂ l’aire du triangle CMB et S₃ l’aire du triangle BMA.

• Calculer S₁ en fonction de MH et de a.
• Calculer S₂ en fonction de MK et de a.
• Calculer S₃ en fonction de ML et de a.
  

 

4°) Déduire des deux questions précédentes la valeur de la somme MH + MK + ML

5°) Conclure.