TRIGONOMETRIE : LECON 1
	Dernière mise à jour le lundi 21 octobre, 2002

Le terme trigonométrie vient à la fois du grec trigos (angle) et du latin metrus (mesure)

1°) Qu'est-ce que qu'un cercle trigonométrique ?

C'est un cercle de rayon 1.

Son périmètre (un tour de cercle trigonométrique) mesure donc 2 radians.

Un demi-tour de cercle trigonométrique mesure donc radians

Un quart de tour de cercle trigonométrique mesure donc /2 radians.

Le sens de parcours direct ou positif sur ce cercle trigonométrique est le sens inverse des aiguilles d'une montre. l'autre sens est dit indirect ou rétrograde.

2°)Comment passe-t-on d'un angle géométrique de demi-droites à un angle orienté de demi-droites ?

A partir de deux demi-droites de même origine O, on peut créer un angle géométrique de demi-droites :

Dorénavant, nous orienterons un angle de demi-droites :

• de façon positive ou directe si on parcourt dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
• de façon négative ou indirecte ou rétrograde sinon.

3°) 3 notions équivalentes : angles orientés de demi-droites de même origine, angles orientés de vecteurs non nuls, angles orientés de vecteurs unitaires

L'angle orienté des demi-droites DD1 et DD2 est l'angle orienté des vecteurs non nuls OU et OV. C'est aussi l'angle orienté des vecteurs unitaires(c'est-à-dire de norme 1) : vecteur OA et vecteur OM.

On écrira (DD1,DD2) = (vecteurOU,vecteurOV) = (vecteurOA,vecteurOM)

4°) Mesures d'un angle orienté de vecteurs

Voici le cercle trigonométrique et un fil représentant l'axe des réels :

Colorions ce fil avec 2 couleurs : l'une pour R+ et l'autre pour R-.

Posons le zéro du fil en A et enroulons ce fil qui représente R autour du cercle trigonométrique : les réels positifs dans le sens direct, les réels négatifs dans l'autre sens :

Alors en A vont se poser les points du fil correspondants à :..., - 4; -2; 0 ; 2; 4 ; ...

et en M vont se poser les les points du fil correspondants à :..., x - 4;x - 2;x ; x + 2 ;x + 4 ; ...

5°) Parmi toutes les mesures, il y en a une qui est intéressante : la mesure principale.

Tout angle orienté de vecteurs (vecteurOA, vecteur OM) a donc une infinité de mesures :

Si x est une mesure en radians, les autres sont de la forme x + 2 k où k appartient à Z

Si x est une mesure en degrés, les autres sont de la forme x) + k 360° où k appartient à Z

La mesure principale en radians est celle des mesures qui est comprise dans l'intervalle ]- ; ]

La mesure principale en degrés est celle des mesures qui est comprise dans l'intervalle ]- 180°; 180°]

Comment trouver la mesure principale ?

en degrés

Soit un angle orienté de vecteurs qui mesure x°.

Si x appartient à ] -180°;180°]

     alors la mesure principale est x

     sinon

        début

         on divise x par 360. On obtient un résultat R.

         on considère Q = E(R) = la partie entière de R..

         on calcule x_o = x - 360 Q

         si x_o est dans [0°;180°]

                  alors la mesure principale est x_o

                  sinon (* c'est que x_o est dans ] 180°;360°[ *) la mesure principale est x_o - 360°

     fin .

Exercice 1

en radians

M1 -On peut utiliser le même algorithme.

M2 - En fait lorsque x se présente comme une fraction de , par exemple x = /n

il vaut mieux se servir du fait que 2 = n 2/n et du fait que = n /n

par exemple, si x = 19 /5 comme 2 = 10 /5 alors 19 /5 = 10 /5 + 9 /5. Mais 9 /5 dépasse car 9 /5 = 5/5 + 4 /5 donc la mesure principale est - /5

Exercice 2

Déterminer la mesure principale associée à chacune des mesures suivantes :

18 ; /3 ; 21 ; 36 /5 ; 51 /5 ; - 4 /3 ; - 7 /4

6°) Propriétés

Pr 1 : La somme des mesures principales des 3 angles géométriques d'un triangle vaut 180° ou radians

Corollaire : La somme des mesures principales des 4 angles géométriques d'un quadrilatère convexe vaut 360° ou 2radians

Leçon suivante :