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TRIGONOMETRIE : LECON 2
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Dernière mise à jour le samedi 9 novembre, 2002 Réalisée par le groupe KabritBwa (en particulier Patrick JEAN-BAPTISTE pour l'initiation à l'intégration des activeX du Creem et Patrick PAILLE pour les courbes de sin,cos et tan sous Geoplan) |
1°) Définition et premières propriétés de sinus,cosinus, tangente et cotangente.
Observons le cercle trigonométrique. (Attendez le chargement de l'applet Cabrijava : un peu de patience, vous ne serez pas déçus !!!)
Soit x une mesure en radians de l'angle (vecteur OA, vecteur OM).
On définit le sinus de x que l'on note sin(x) par sin(x) = la mesure algébrique de OS
On définit le cosinus de x que l'on note cos(x) par cos(x) = la mesure algébrique de OC
L'axe (OA) s'appelle l'axe des cosinus.
L'axe (OB) s'appelle l'axe des sinus.
tangente(x) = sin(x)/cos(x) = mesure algébrique de OS/mesure algébrique de OC
= mesure algébrique de CM/mesure algébrique de OC
= mesure algébrique de AT/mesure algébrique de OA grâce au Théorème de Thalès appliqué au triangle OAT.
= mesure algébrique de AT car mesure algébrique de OA est 1
L'axe (AT) s'appelle l'axe des tangentes.
cotangente(x) = cos(x)/sin(x) = mesure algébrique de OC/mesure algébrique de OS
= mesure algébrique de MS/mesure algébrique de OC
= mesure algébrique de BT'/mesure algébrique de OB grâce au Théorème de Thalès appliqué au triangle OBT'.
= mesure algébrique de BT' car mesure algébrique de OB est 1
L'axe (BT') s'appelle l'axe des cotangentes.
Théorème 1
Le sinus et le cosinus d'un nombre existe dès que ces nombres existent.
Théorème 2
Le sinus et le cosinus d'un nombre sont des nombres compris entre - 1 et 1
Théorème 3 : La relation fondamentale de la trigonométrie (sous 3 formes)
sin2(x) + cos2(x) =1
sin2(x) = 1 - cos2(x)
cos2(x) = 1 -sin2(x)
démonstration :
Le triangle OCM est rectangle en C donc d'après Pythagore l'on a OC2 + CM2 = OM2
Or OC = sin(x) donc OC2 = sin2(x) etCM = OS = cos(x) donc CM2 = OS2 = cos2(x)
donc sin2(x) + cos2(x) = 1.
CQFD
Théorème 4
Pour tout réel x, l'on a -1 £ sin(x) £1 et - 1 £cos(x)£ 1
Théorème 5
tangente(nombre)
existe lorsque le cosinus de nombre s'annule c'est-à-dire lorsque
ce nombre est différent de 
/2
+ k où
k appartient à Z
cotangente(nombre)
existe lorsque le sinus de nombre s'annule c'est-à-dire lorsque
ce nombre est différent de 0 + k
où k appartient à Z
2°) Construction dynamique des courbes des fonctions cosinus, sinus et tangente
1°)Téléchargez sur votre machine les actives X Gpo.cab et Geo.cab à partir du site du Creem :
2°) Une fois les actives X installés sur votre PC :
- Double-cliquez dans chacun des
cadres 2, 3 et 4 ci-dessous où apparaîtront les courbes
de cos, sin et tan.
Un menu Geoplan apparaît : Choissisez Afficher Mode trace Bascule - Double Cliquez ensuite sur le
cadre 1 qui contient le cercle trigonométrique.
Appuyez alors sur la touche N de votre clavier. Le point N sera alors positionné à l'origine de l'axe des réels.
Puis déplacer N sur l'axe des réels alors le point M décrira le cercle trigonométrique et les points M1, M2 et M3 d'abscisse xet de coordonnées respectives cos(x),sin(x) et tan(x) décriront les courbes de cos, sin et tan dans les cadres 2, 3 et 4.
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Leçon suivante
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