Propriétés des fonctions sinus, cosinus, tangente et cotangente

1°) Parité de cosinus, imparité de sinus, tangente et cotangente

cosinus est paire car

• pour tout x dans D_cos = R , -x est dans D_cos
• pour tout x dans D_cos = R , cos(-x) = cos(x)

sinus est impaire car

• pour tout x dans Dsin = R , -x est dans Dsin
• pour tout x dans Dsin = R , sin(-x) = sin(x)

tan est impaire car

• pour tout x dans D_tan = R - { /2 + k / k appartenant à Z }, -x est dans D_tan
• pour tout x dans D_tan , tan(-x) = tan(x)

cotan est impaire car

• pour tout x dansD_cotan = R - { k / k appartenant à Z }, -x est dans D_cotan
• pour tout x dans D_cotan , cotan(-x) = cotan(x)

On en déduit que la courbe de cosinus admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.

et que les courbes de sinus, tangente et cotangente admettent le centre de symétrie comme centre de symétrie.

2°) Périodicité

cosinus est périodique de période T = 2 car

• pour tout x dans D_cos = R , x + 2 est dans D_cos
• pour tout x dans D_cos = R , cos(x + 2) = cos(x)

sinus est périodique de période T = 2 car

• pour tout x dans Dsin = R , x + 2 est dans Dsin
• pour tout x dans Dsin = R , sin(x + 2) = sin(x)

tan est périodique de période T = car

• pour tout x dans D_tan = R - { /2 + k / k appartenant à Z }, x + est dans Dtan
• pour tout x dans D_tan , tan(x + ) = tan(x)

cotan est périodique de période T = car

• pour tout x dans D_cotan = R - { k / k appartenant à Z }, x + est dans D_cotan
• pour tout x dans D_cotan , cotan(x + ) = cotan(x)

3°) Autres propriétés

angles opposés

• sin(-x) = - sin(x)
• cos(-x) = cos(x)
• tan(-x) = - tan(x)
• cotan(-x) = - cotan(x)

angles complémentaires x et /2 - x

• sin(/2 - x) = cos(x)
• cos(/2 - x) = sin(x)
• tan/2 - x) = cotan(x)
• cotan(/2 - x) = tan(x)

On dit que des angles complémentaires échangent leurs sinus et cosinus, leurs tangentes et cotangentes

angles supplémentaires x et - x

• sin(- x) = sin(x)
• cos(- x) = -cos(x)
• tan(- x) = - tan(x)
• cotan(- x) = - cotan(x)

angles de mesure x et + x

• sin(+ x ) = - sin(x)
• cos(+ x ) = - cos(x)
• tan(+ x ) = tan(x)
• cotan(+ x ) = cotan(x)

angles de mesure x et /2 + x

• sin(/2 + x) = cos(x)
• cos(/2 + x) = - sin(x)
• tan(/2 + x) = - cotan(x)
• cotan(/2 + x) = - tan(x)

4°) Formules

FO : Relation fondamentale de la trigonométrie :

cos²(a) + sin²(a) = 1 ou encore cos²(a) = 1 - sin²(a) ou encore sin²(a) = 1- cos²(a)

Pour tous réels a et b

F1 : cos(a + b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)

F2 : cos(a -b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)       à partir de F1 en remplaçant b par -b

F3 : sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a)

F4 : sin(a -b) = sin(a) cos(b) - sin(a) sin(b)       à partir de F3 en remplaçant b par -b

F5 : cos(2 a) = cos²(a) - sin²(a) = 2 cos²(a) - 1 = 1 - 2 sin²(a)

à partir de F1 en remplaçant b par a et de F0

F6 : sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)       à partir de F3 en remplaçant b par a

F7 : cos²(a)= (1 + cos(2a))/2       à partir de F5

F8 : sin²(a) = (1 - cos(2a))/2       à partir de F5

F9 : cos(a) cos(b) = (1/2) (cos(a + b) + cos( a - b))      à partir de F1 et F2

F10 : sin(a) sin(b) = - (1/2) (cos(a + b) -cos( a - b))      à partir de F1 et F2

F11 : sin(a) cos(b) = (1/2) (sin(a + b) + sin(a - b)     à partir de F3 et F4

le système a + b = p et a - b = q a pour solutions a = (p + q) / 2 et b = (p - q ) / 2

d'où à partir de F9, F10 et F11

F12 : cos(p) + cos(q) = 2 cos((p + q)/2) cos((p - q)/2)

F13 : cos(p) - cos(q) = - 2 sin((p + q)/2) sin((p - q)/2)

F14 : sin(p) + sin(q) = 2 sin((p + q)/2) cos((p - q)/2)

F15 : sin(p) - sin(q) = 2 sin((p - q)/2) cos((p + q)/2)

5°) Rapports trigonométriques dans un triangle rectangle

Soit un triangle rectangle ODN, les angles non droits sont aigus donc leur mesure principale est comprise entre 0 et /2 donc leur sinus et cosinus sont compris entre 0 et 1.

par exemple, soit a un de ces angles non droits du triangle rectangle ODN. Peu importe que OD soit inférieur, égal ou supérieur à OA = 1, on a la figure suivante (D étant mobile, essayez !!!)

sin(a) = mesure algébrique de OS = OS = CM = CM/1 = CM/OM =DN/ON d'après le théorème de Thalès appliqué aux triangles OCN et ODN donc sin(a) = côté opposé à l'angle/hypothénuse

cos(a) = mesure algébrique de OC = OC = OC/1 = OC/OM =OD/ON d'après le théorème de Thalès appliqué aux triangles OCN et ODN donc sin(a) = côtéadjacent à l'angle/hypothénuse

Théorème

Dans un triangle rectangle,

le sinus de la mesure principale d'un angle non droit est le rapport de la longueur du côté opposé sur la longueur de l'hypoténuse

le cosinus de la mesure principale d'un angle non droit est le rapport de la longueur du côté adjacent sur la longueur de l'hypoténuse

la tangente de la mesure principale d'un angle non droit est le rapport de la longueur du côté opposé sur la longueur du côté adjacent

6°) Rapports trigonométriques remarquables

Activité 1

Soit un triangle isocèle rectangle ODN tel que OD = c ,

a) déterminer la mesure principale del'angle DON

b) déterminer la distance ON en fonction de c puis en déduire sin(45°) et cos(45°)

Activité 2

Soit un triangle équilatéral ABC tel que AB = c . Soit I le milieu de [AB].

a) déterminer la mesure principale del'angle CAI

b) déterminer la distance AI , la distance CI en fonction de c puis en déduire sin(60°), cos(60°), sin(30°) et cos(30°)

A partir de ces activités , on obtient le tableau suivant :

degrés	0	30	45	60	90
radians	0	/6	/4	/3	/2
sinus	0	1/2	/2	/2	1
cosinus	1	/2	/2	1/2	0
tangente	0	/3	1		//
cotangente	//		1	/3	0

Exercices :