{"id":1225,"date":"2017-04-14T15:54:09","date_gmt":"2017-04-14T13:54:09","guid":{"rendered":"http:\/\/www2.mathnique.com\/site\/?page_id=1225"},"modified":"2017-04-15T00:37:57","modified_gmt":"2017-04-14T22:37:57","slug":"fonction-racine-carree","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/fonction-racine-carree\/","title":{"rendered":"La fonction racine carr\u00e9e"},"content":{"rendered":"<ul>\n<li><span style=\"color: #ff0000;\"><b>Activit\u00e9 1<\/b><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p>Soit un rep\u00e8re orthonorm\u00e9 de centre $O$. Soit $A$ le point de coordonn\u00e9es $(-1\u00a0;0)$.<br \/>\nSoit $M$ le point de coordonn\u00e9es $(x\u00a0;0)$ o\u00f9 $x$ est un nombre r\u00e9el positif.<br \/>\nSoit $I$ le milieu du segment $[AM]$.<br \/>\nSoit $( \\mathcal{C}\u00a0)$ le cercle de centre $I$ passant par $A$.<br \/>\nSoit $B$ le point d\u2019intersection de l\u2019axe des ordonn\u00e9es et du cercle $(\u00a0\\mathcal{C}\u00a0)$.<br \/>\nSoit $a$ une mesure de l\u2019angle g\u00e9om\u00e9trique $\\hat{OAB}$.<br \/>\n1\u00b0) D\u00e9montrer que $a$ est aussi une mesure de l\u2019angle g\u00e9om\u00e9trique OBM.<br \/>\na) En exprimant tan(a) de deux mani\u00e8res, d\u00e9montrer que $OB<span style=\"font-size: 12px;\">^2<\/span>\u00a0= OM \\times OA$.<br \/>\nb) En d\u00e9duire que $OB = \\sqrt(x}$.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-1259 aligncenter\" src=\"http:\/\/www2.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/04\/sqrt1-300x219.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"219\" srcset=\"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/04\/sqrt1-300x219.png 300w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/04\/sqrt1-768x560.png 768w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/04\/sqrt1.png 880w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 85vw, 300px\" \/>2\u00b0) En utilisant un\u00a0logiciel de g\u00e9om\u00e9trie dynamique (Cabri-G\u00e9om\u00e8tre, G\u00e9og\u00e9bra,...)<br \/>\na) Construire la figure correspondant au 1\u00b0).<br \/>\nb) Construire $M\u2019$ le point d\u2019intersection de la perpendiculaire en $M$ \u00e0 l\u2019axe des abscisses et de la<br \/>\nperpendiculaire en $B$ \u00e0 l\u2019axe des ordonn\u00e9es.<br \/>\nc) Construire le lieu g\u00e9om\u00e9trique de $M'$ lorsque $M$ d\u00e9crit l'axe des ordonn\u00e9es.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-1260 aligncenter\" src=\"http:\/\/www2.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/04\/sqrt2-300x217.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"217\" srcset=\"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/04\/sqrt2-300x217.png 300w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/04\/sqrt2-768x555.png 768w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/04\/sqrt2-1024x741.png 1024w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/04\/sqrt2.png 1120w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 85vw, 300px\" \/><br \/>\n3\u00b0) Observez la courbe ainsi obtenue et qui a donc pour \u00e9quation $y = \\sqrt{x}$ \u00a0.<br \/>\na) D\u00e9montrer que si $x &gt; 0$ et $x\u2019 &lt; 0$ et $x &lt; x\u2019$ alors \u00a0$\\sqrt{x} &lt; \\sqrt{x'}$<br \/>\nDresser le tableau de variations de f<br \/>\nb) Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on \u00a0$\\sqrt{x}&lt; 100$ ?<br \/>\nc) Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on \u00a0$\\sqrt{x}&gt; 10^{10}$ ?<br \/>\nd) Si $A &gt; 0$, pour quelles valeurs de $x$ a-t-on \u00a0$\\sqrt{x}&gt; A$ ?<\/p>\n<p><span style=\"color: #ff0000;\"><b>Activit\u00e9 2<\/b><\/span><\/p>\n<p>1\u00b0) Compl\u00e9ter le tableau de valeurs suivant\u00a0:<\/p>\n<table width=\"451.0\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"0\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\" valign=\"top\">x<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" valign=\"top\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" valign=\"top\">0.16<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" valign=\"top\">0.25<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" valign=\"top\">0.49<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" valign=\"top\">0.64<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" valign=\"top\">0.81<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" valign=\"top\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" valign=\"top\">2<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" valign=\"top\">3<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" valign=\"top\">4<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" valign=\"top\">9<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\" valign=\"top\">f(x)<\/td>\n<td valign=\"top\"><\/td>\n<td valign=\"top\"><\/td>\n<td valign=\"top\"><\/td>\n<td valign=\"top\"><\/td>\n<td valign=\"top\"><\/td>\n<td valign=\"top\"><\/td>\n<td valign=\"top\"><\/td>\n<td valign=\"top\"><\/td>\n<td valign=\"top\"><\/td>\n<td valign=\"top\"><\/td>\n<td valign=\"top\"><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>2\u00b0) On voudrait comparer les positions relatives des courbes d'\u00e9quation $y = \\sqrt{x}$ et $y = x$<\/p>\n<p>a) R\u00e9soudre l\u2019\u00e9quation d\u2019inconnue x r\u00e9elle\u00a0: $\\sqrt{x} = x$<br \/>\nb) R\u00e9soudre les in\u00e9quations d\u2019inconnue x r\u00e9elle\u00a0: \u00a0$\\sqrt{x}&lt; x$ et\u00a0\u00a0$\\sqrt{x}&gt; x$ ?<\/p>\n<p>3\u00b0) Placer les points de coordonn\u00e9e (x,f(x) ) du tableau pr\u00e9c\u00e9dent dans un rep\u00e8re orthogonal.<\/p>\n<p>4\u00b0) Relier ces points \u00e0 main lev\u00e9e.<\/p>\n<p>En d\u00e9duire le trac\u00e9 complet de la courbe d\u2019\u00e9quation $y = \\sqrt{x}$<\/p>\n<p>Tracer dans le m\u00eame rep\u00e8re la courbe d\u2019\u00e9quation $y = x$<\/p>\n<p><span style=\"color: #ff0000;\"><b>R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/b><\/span><\/p>\n<p><span style=\"color: #008000;\"><strong>Soit $f$ d\u00e9finie sur $R^+$ par $f(x) =\\sqrt{x}$<\/strong><\/span><\/p>\n<p><span style=\"color: #008000;\"><strong>Elle admet le tableau de variations suivant\u00a0:<\/strong><\/span><\/p>\n<p><span class='MathJax_Preview'><img src='https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/plugins\/latex\/cache\/tex_abda499a9c7233e15461faf7cb9484d9.gif' style='vertical-align: middle; border: none; padding-bottom:2px;' class='tex' alt=\"\" \/><\/span><script type='math\/tex'><\/script><\/p>\n<p><span style=\"color: #008000;\"><strong>Un nombre est \u00e9gal \u00e0 sa racine carr\u00e9e si et seulement si ce nombre est 0 ou 1.<\/strong><\/span><\/p>\n<p><span style=\"color: #008000;\"><strong>Un nombre est plus grand que sa racine carr\u00e9e si et seulement si ce nombre est plus grand que 1.<\/strong><\/span><\/p>\n<p><span style=\"color: #3366ff;\"><strong><span style=\"color: #008000;\">Un nombre est plus petit que sa racine carr\u00e9e si et seulement si ce nombre est compris entre 0 et 1<\/span>.<\/strong><\/span><\/p>\n<p><span style=\"color: #ff0000;\"><b>Auteurs : Christian CYRILLE (Lyc\u00e9e Schoelcher) et Patrick JEAN-BAPTISTE (Lyc\u00e9e Schoelcher)<\/b><\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Activit\u00e9 1 Soit un rep\u00e8re orthonorm\u00e9 de centre $O$. Soit $A$ le point de coordonn\u00e9es $(-1\u00a0;0)$. Soit $M$ le point de coordonn\u00e9es $(x\u00a0;0)$ o\u00f9 $x$ est un nombre r\u00e9el positif. Soit $I$ le milieu du segment $[AM]$. Soit $( \\mathcal{C}\u00a0)$ le cercle de centre $I$ passant par $A$. Soit $B$ le point d\u2019intersection de l\u2019axe &hellip; <a href=\"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/fonction-racine-carree\/\" class=\"more-link\">Continuer la lecture<span class=\"screen-reader-text\"> de &laquo;&nbsp;La fonction racine carr\u00e9e&nbsp;&raquo;<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"footnotes":""},"class_list":["post-1225","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1225","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1225"}],"version-history":[{"count":10,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1225\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1275,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1225\/revisions\/1275"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1225"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}