{"id":1238,"date":"2017-04-14T21:54:06","date_gmt":"2017-04-14T19:54:06","guid":{"rendered":"http:\/\/www2.mathnique.com\/site\/?page_id=1238"},"modified":"2017-04-15T01:02:51","modified_gmt":"2017-04-14T23:02:51","slug":"la-fonction-cube","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/la-fonction-cube\/","title":{"rendered":"La fonction cube"},"content":{"rendered":"

Soit un rep\u00e8re orthonorm\u00e9 de centre $O$. Soit $A$ le point de coordonn\u00e9es $(0\u00a0;-1)$.
\nSoit $I$ le point de coordonn\u00e9es $(1\u00a0;0)$. Soit $M$ le point de coordonn\u00e9es $(x\u00a0; 0)$ o\u00f9 $x$ est un nombre r\u00e9el.
\nSoit $B$ le point d\u2019intersection de l\u2019axe des ordonn\u00e9es et de la perpendiculaire en $M$ au segment $[AM]$.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

On a d\u00e9montr\u00e9 dans la s\u00e9quence sur la fonction carr\u00e9 que $OB = x^2$.<\/p>\n

Activit\u00e9 1<\/b><\/span><\/p>\n

1\u00b0) En utilisant le logiciel Cabri-G\u00e9om\u00e8tre
\na) Construire $C$ le point d\u2019intersection de l\u2019axe des ordonn\u00e9es et de la droite parall\u00e8le \u00e0 $(BI)$ passant par $M$.
\nb) Quelles sont les coordonn\u00e9es du point $C$ ?
\nc) Construire $M\u2019\u2019$ le point d\u2019intersection de la perpendiculaire en $M$ \u00e0 l\u2019axe des abscisses et de la perpendiculaire en $C$ \u00e0 l\u2019axe des ordonn\u00e9es.
\nd) Construire le lieu g\u00e9om\u00e9trique de $M\u2019\u2019$ lorsque $M$ d\u00e9crit l\u2019axe des ordonn\u00e9es.
\n\"\"4\u00b0) Observez la courbe ainsi obtenue et qui a donc pour \u00e9quation $y = x^3$.
\na) Que peut-on conjecturer sur la parit\u00e9 de $f$? Justifier.
\nb) V\u00e9rifier que $a^3 \u00a0\u2013 b^3\u00a0= (a \u2013 b)(\u00a0a^2 + ab + b^2)$
\nc) D\u00e9montrer que si $0 < x < x\u2019$ alors\u00a0$x^3 < x'^3$
\n<\/sup>d) D\u00e9duire du a ) et du c) le tableau de variations de $f$.
\ne) Compl\u00e9ter le tableau de variations suivant\u00a0:<\/p>\n\n\n\n\n
\n

$x$<\/p>\n<\/td>\n

$10^0$<\/td>\n$10^1$<\/td>\n$10^2$<\/td>\n$10^3$<\/td>\n\n

$10^4$<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

\n

$f(x)$<\/p>\n<\/td>\n

<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n <\/p>\n

 <\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

a) Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $x^3 > 10^3$ ?<\/p>\n

b)\u00a0Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $x^3 > 10^9$ ?<\/p>\n

Activit\u00e9 2\u00a0<\/b><\/span><\/p>\n

1\u00b0) On voudrait comparer les positions relatives des courbes d\u2019\u00e9quation $y = x^3$\u00a0et $y = x^2$.
\na)\u00a0R\u00e9soudre l\u2019\u00e9quation d\u2019inconnue $x$ r\u00e9elle\u00a0: $x^2 =x^3$
\nb) R\u00e9soudre les in\u00e9quations d\u2019inconnue $x$ r\u00e9elle\u00a0:\u00a0$x^2 <\u00a0x^3$ et\u00a0$x^2 >\u00a0x^3$
\n2\u00b0) En utilisant la question pr\u00e9c\u00e9dente et le 5\u00b0) de l\u2019activit\u00e9 2 de la s\u00e9quence sur la fonction carr\u00e9, d\u00e9terminer les positions relatives des courbes d\u2019\u00e9quation $y = x, y = x^2$\u00a0et $y = x^3$.<\/p>\n

3\u00b0) Compl\u00e9ter le tableau suivant\u00a0:<\/p>\n\n\n\n\n
\n

$x$<\/p>\n<\/td>\n

$0$<\/td>\n$0.5$<\/td>\n$1$<\/td>\n$1.5$<\/td>\n$2$<\/td>\n\n

$3$<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

\n

$f(x)$<\/p>\n<\/td>\n

<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

4\u00b0) Placer les points de coordonn\u00e9es $(x ; x^3)$\u00a0du tableau pr\u00e9c\u00e9dent dans un rep\u00e8re orthogonal.<\/p>\n

5\u00b0) Relier ces points \u00e0 main lev\u00e9e.
\nEn d\u00e9duire le trac\u00e9 complet de la courbe d\u2019\u00e9quation $y = x^3$.<\/p>\n

Tracer dans le m\u00eame rep\u00e8re les courbes d\u2019\u00e9quation $y = x$ et $y = x^2$.<\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/b><\/span><\/p>\n

Soit $f$ d\u00e9finie sur $R$ par $f(x) = x^3$<\/span><\/strong><\/p>\n

Elle admet le tableau de variations suivant\u00a0:<\/span><\/strong><\/p>\n

\"\"<\/span>