{"id":1378,"date":"2017-04-15T18:08:37","date_gmt":"2017-04-15T16:08:37","guid":{"rendered":"http:\/\/www2.mathnique.com\/site\/?page_id=1378"},"modified":"2021-02-27T15:14:46","modified_gmt":"2021-02-27T14:14:46","slug":"lhomothetie","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/lhomothetie\/","title":{"rendered":"L'Homoth\u00e9tie"},"content":{"rendered":"\n<p><strong><span class=\"has-inline-color has-bright-red-color\">D\u00e9finition d'une homoth\u00e9tie de centre $O$ et de rapport $k \\neq 0$:<\/span><\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-left\">Soit $E$ un espace affine de dimension $n$.<br>Si $n = 2$ alors  $E$ est un plan.<br>Si $n = 3$ alors $E$ est l'espace.<br>Soit un r\u00e9el $k \\neq 0$. Soit un point $O$ de $E$.<br>On appelle Homoth\u00e9tie de centre $O$ et de rapport $k$ l'application de $E$ dans $E$ qui \u00e0 tout point $A$ associe le point $A'$ tel que $\\overrightarrow{O A'} = k \\ \\overrightarrow{OA}$.<br><br><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"600\" height=\"168\" class=\"wp-image-3400\" style=\"width: 600px;\" src=\"http:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/homodefinition.png\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/homodefinition.png 1312w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/homodefinition-300x84.png 300w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/homodefinition-1024x287.png 1024w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/homodefinition-768x215.png 768w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/homodefinition-1200x337.png 1200w\" sizes=\"auto, (max-width: 600px) 85vw, 600px\" \/><br><br><strong>L'homoth\u00e9tie c'est en fait de l'agrandissement-r\u00e9duction :<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>L'homoth\u00e9tie fait de l'agrandissement lorsque $k &lt; -1 \\text{ ou } k >1$.<\/li><li>L'Homoth\u00e9tie fait de la r\u00e9duction lorsque $-1 &lt; k &lt; 1$<\/li><li>L'appareil qui illustre elle mieux l'homoth\u00e9tie est le <strong>pantographe<\/strong> des graveurs :<br>Voici une image d'un pantographe professionnel :<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><br><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"400\" height=\"300\" class=\"wp-image-3401\" style=\"width: 400px;\" src=\"http:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/pantoMrBOISSON.png\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/pantoMrBOISSON.png 1032w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/pantoMrBOISSON-300x225.png 300w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/pantoMrBOISSON-1024x768.png 1024w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/pantoMrBOISSON-768x576.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 400px) 85vw, 400px\" \/><br> <\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-left\">Ce pantographe est celui utilis\u00e9 par le c\u00e9l\u00e8bre graveur de Fort de France <\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"400\" height=\"298\" class=\"wp-image-3402\" style=\"width: 400px;\" src=\"http:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/graveurMrBOISSON.png\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/graveurMrBOISSON.png 1036w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/graveurMrBOISSON-300x224.png 300w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/graveurMrBOISSON-1024x763.png 1024w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/graveurMrBOISSON-768x572.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 400px) 85vw, 400px\" \/><br>Mr BOISSON<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"250\" height=\"149\" class=\"wp-image-3395\" style=\"width: 250px;\" src=\"http:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/panto1.png\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/panto1.png 1195w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/panto1-300x178.png 300w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/panto1-1024x608.png 1024w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/panto1-768x456.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 250px) 85vw, 250px\" \/><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"250\" height=\"219\" class=\"wp-image-3396\" style=\"width: 250px;\" src=\"http:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/panto2.png\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/panto2.png 1154w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/panto2-300x263.png 300w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/panto2-1024x898.png 1024w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/panto2-768x673.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 250px) 85vw, 250px\" \/><\/p>\n\n\n\n<p><strong><span class=\"has-inline-color has-bright-red-color\">Propri\u00e9t\u00e9s d'une homoth\u00e9tie<\/span><\/strong> <br>Une homoth\u00e9tie est donc une application affine dont l'endomorphisme associ\u00e9 est&nbsp; l'homoth\u00e9tie vectorielle $h_k$ de rapport $k : $ qui est encore $k Id_{\\overrightarrow{E}}$.<br> De plus, une homoth\u00e9tie \u00e9tant bijective alors toute homoth\u00e9tie&nbsp; a toutes les propri\u00e9t\u00e9s d'une bijection affine.<\/p>\n\n\n\n<p>Par cons\u00e9quent,&nbsp; une homoth\u00e9tie transforme :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>le milieu $I$ du bipoint $(A,B)$ en le milieu $I'$ du bipoint $(A',B')$<\/li><li>une droite $(AB)$ en une droite $(A'B')$ parall\u00e8le.<\/li><li>deux droites $(D_1)$ et $(D_2)$ parall\u00e8les en deux droites $(D'_1)$ et $(D'_2)$ parall\u00e8les.<\/li><li>deux droites $(D_1)$ et $(D_2)$ perpendiculaires en deux droites $(D'_1)$ et $(D'_2)$ perpendiculaires.<\/li><li>un angle g\u00e9om\u00e9trique $\\widehat{ABC}$ en un angle g\u00e9om\u00e9trique $\\widehat{A'B'C'}$ de m\u00eame mesure.<\/li><li>un cercle $\\mathcal{C}(O;R)$ en un cercle $\\mathcal{C}(O'; |k| \\ R)$ avec $O' = H(O)$<\/li><li>un domaine plan $\\mathcal{D}$ d'aire $\\mathcal{A}$ en un domaine $\\mathcal{D'}$ d' aire $k^2 \\ \\mathcal{A}$.<\/li><li> dans l'espace, une sph\u00e8re $\\mathcal{S}(O;R)$ en une sph\u00e8re $\\mathcal{S}(O';|k| \\ R)$ avec $O' = H(O)$<\/li><li>&nbsp;<span class=\"has-inline-color has-bright-red-color\">Action sur les longueurs, aires et volumes<\/span><ul><li><strong>Attention, une homoth\u00e9tie n'est pas une isom\u00e9trie \u00e0 part $H(\\Omega,1)$ et $H(\\Omega,-1)$<\/strong><\/li><li>Par cons\u00e9quent,&nbsp; une homoth\u00e9tie transforme :&nbsp;<ul><li>un cercle $\\mathcal{C}(\\Omega;R)$ en un cercle $\\mathcal{C}(\\Omega'; |k| \\ R)$ avec $\\Omega' = H(\\Omega)$.<\/li><li>un domaine $\\mathcal{D}$ d'aire $\\mathcal{A}$ en un domaine $\\mathcal{D'}$ d' aire $k^2 \\ \\mathcal{A}$.<\/li><li>dans l'espace, une sph\u00e8re $\\mathcal{S}(\\Omega;R)$ en une sph\u00e8re $\\mathcal{S}(\\Omega';|k| \\ R)$ avec $\\Omega' = H(\\Omega)$.<\/li><li>dans l'espace, un solide $V$ de volume $\\mathcal{V}$ en un solide $V'$ de volume $|k|^3 \\ \\mathcal{V}$.<\/li><\/ul><\/li><\/ul><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p><strong><span class=\"has-inline-color has-bright-red-color\">Cours personnel sur le groupe des homoth\u00e9ties-translations : <\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-file\"><a href=\"http:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/homotrans.pdf\">homotrans<\/a><a href=\"http:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/homotrans.pdf\" class=\"wp-block-file__button\" download>T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>D\u00e9finition d'une homoth\u00e9tie de centre $O$ et de rapport $k \\neq 0$: Soit $E$ un espace affine de dimension $n$.Si $n = 2$ alors $E$ est un plan.Si $n = 3$ alors $E$ est l'espace.Soit un r\u00e9el $k \\neq 0$. Soit un point $O$ de $E$.On appelle Homoth\u00e9tie de centre $O$ et de rapport $k$ &hellip; <a href=\"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/lhomothetie\/\" class=\"more-link\">Continuer la lecture<span class=\"screen-reader-text\"> de &laquo;&nbsp;L'Homoth\u00e9tie&nbsp;&raquo;<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"footnotes":""},"class_list":["post-1378","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1378","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1378"}],"version-history":[{"count":9,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1378\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3408,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1378\/revisions\/3408"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1378"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}