{"id":1719,"date":"2017-05-16T21:34:58","date_gmt":"2017-05-16T19:34:58","guid":{"rendered":"http:\/\/www.mathnique.com\/site\/?page_id=1719"},"modified":"2025-12-12T21:52:46","modified_gmt":"2025-12-12T20:52:46","slug":"les-ensembles-de-nombres","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/les-ensembles-de-nombres\/","title":{"rendered":"Les ensembles de nombres"},"content":{"rendered":"<ul>\n<li><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-176 aligncenter\" src=\"http:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/01\/logomaths-300x243.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"243\" srcset=\"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/01\/logomaths-300x243.png 300w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/01\/logomaths.png 304w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 85vw, 300px\" \/><\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li style=\"text-align: center;\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Cours personnel sur les Ensembles :<br \/>\n<\/span><\/strong><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-2625 aligncenter\" src=\"http:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2019\/03\/nombresensembles-300x285.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"285\" srcset=\"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2019\/03\/nombresensembles-300x285.png 300w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2019\/03\/nombresensembles-768x731.png 768w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2019\/03\/nombresensembles.png 948w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 85vw, 300px\" \/><br \/>\n<a href=\"http:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/ch03ec1.pdf\">ch03ec1<\/a><\/li>\n<li><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Les Ensembles de nombres :<\/span><\/strong>\n<ul>\n<li><strong><span style=\"color: #ff0000;\">vid\u00e9o des Amphis de la 5 (Professeur Jacques VAUTHIER) sur la construction des nombres r\u00e9els :<\/span><\/strong><br \/>\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/oKeMGn6-GQE?t=182\">https:\/\/youtu.be\/oKeMGn6-GQE?t=182<\/a><\/li>\n<li><strong><span style=\"color: #ff0000;\">vid\u00e9o des Amphis de la 5 (Professeur Jacques VAUTHIER) sur l'ensemble Q des nombres rationnels et l'ensemble R - Q des nombres irrationnels :<\/span><\/strong><br \/>\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/9fwRICvwmag?t=719\">https:\/\/youtu.be\/9fwRICvwmag?t=719<\/a><\/li>\n<li><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>Quelques r\u00e9sultats classiques sur les irrationnels :<\/strong><\/span><br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-366 aligncenter\" src=\"http:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/oldprof.gif\" alt=\"\" width=\"95\" height=\"90\" \/><\/p>\n<ul>\n<li><strong><em>$\\sqrt{2}$ est un irrationnel (R\u00e9sultat connu depuis l'Antiquit\u00e9)<\/em><\/strong><br \/>\n<strong><em>Lemme 1 : si $n$ est un entier pair alors $n^2$ est pair<\/em><\/strong><br \/>\nCe lemme est \u00e9quivalent \u00e0 la contrapos\u00e9e : Si $n^2$ est impair alors $n$ est impair.<br \/>\n<strong><em>Lemme 2 : Si $n$ est un entier impair alors $n^2$ est impair .<\/em><\/strong><br \/>\nCe lemme est \u00e9quivalent \u00e0 la contrapos\u00e9e : Si $n^2$ est pair alors $n$ est pair<br \/>\n<strong><em>Lemme 3 : On peut d\u00e9duire des lemmes 1 et 2 les \u00e9quivalences suivantes :<\/em><\/strong><br \/>\n<strong> <em> - $n$ est pair $\\iff n^2$ est pair.<\/em><\/strong><br \/>\n<strong> <em> - $n$ est impair $\\iff n^2$ est impair.<\/em><\/strong><br \/>\n<strong><em>Th\u00e9or\u00e8me : $\\sqrt{2} \\notin Q$.<\/em><\/strong><br \/>\nD\u00e9monstration par l'absurde :<br \/>\nSupposons que $\\sqrt{2} \\in Q$ donc $\\sqrt{2} =\\dfrac{p}{q}$ o\u00f9 $p$ et $q$ sont premiers entre eux c'est-\u00e0-dire que la fraction $\\dfrac{p}{q}$ est irr\u00e9ductible.<br \/>\nDonc $2 =\\dfrac{p^2}{q^2}$ d'o\u00f9 $p^2 =2q^2$ donc $p^2$ pair donc $p$ pair donc $p=2p'$.<br \/>\nAlors $(2p')^2 =2q^2$ d'o\u00f9$q^2 =2p'^2$ donc $q^2$ pair d'o\u00f9 $q$ pair donc $q=2q'$.<br \/>\nMais alors $\\sqrt{2} =\\dfrac{p}{q} =\\dfrac{p'}{q'}$ est r\u00e9ductible. Contradiction<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><em><strong>Si $p$ est un entier premier alors $\\sqrt{p}$ est un irrationnel<\/strong><\/em><\/li>\n<li><em><strong>Corollaire : $\\sqrt{2},\\sqrt{3},\\sqrt{5},\\cdots$ sont des irrationnels<\/strong><\/em><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li style=\"text-align: center;\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Les nombres alg\u00e9briques et les nombres transcendants :<\/span><\/strong><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-2626 aligncenter\" src=\"http:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2019\/03\/nombrestranscendants-300x179.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"179\" srcset=\"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2019\/03\/nombrestranscendants-300x179.png 300w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2019\/03\/nombrestranscendants-768x457.png 768w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2019\/03\/nombrestranscendants.png 800w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 85vw, 300px\" \/><br \/>\nTravail de recherche en cours...<br \/>\n<a href=\"http:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/ch03R.pdf\">ch03R<\/a><\/li>\n<li><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Probl\u00e8mes sur les irrationnels :<\/span><\/strong>\n<ul>\n<li style=\"text-align: center;\">Capes Externe 2013 \u00e9preuve 1 : (Partie A : Exemples de nombres irrationnels - Partie B : Une preuve de l'irrationalit\u00e9 de $\\pi$)<br \/>\n<a href=\"http:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/capext13ep1.pdf\">capext13ep1<\/a><br \/>\n<a href=\"http:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/capext13ep1cor.pdf\">capext13ep1cor<\/a><\/li>\n<li><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Cours personnel sur les Ensembles : ch03ec1 Les Ensembles de nombres : vid\u00e9o des Amphis de la 5 (Professeur Jacques VAUTHIER) sur la construction des nombres r\u00e9els : https:\/\/youtu.be\/oKeMGn6-GQE?t=182 vid\u00e9o des Amphis de la 5 (Professeur Jacques VAUTHIER) sur l'ensemble Q des nombres rationnels et l'ensemble R - Q des nombres irrationnels : https:\/\/youtu.be\/9fwRICvwmag?t=719 Quelques &hellip; <a href=\"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/les-ensembles-de-nombres\/\" class=\"more-link\">Continuer la lecture<span class=\"screen-reader-text\"> de &laquo;&nbsp;Les ensembles de nombres&nbsp;&raquo;<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"footnotes":""},"class_list":["post-1719","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1719","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1719"}],"version-history":[{"count":13,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1719\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3583,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1719\/revisions\/3583"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1719"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}