{"id":2055,"date":"2017-07-28T01:25:24","date_gmt":"2017-07-27T23:25:24","guid":{"rendered":"http:\/\/www.mathnique.com\/site\/?page_id=2055"},"modified":"2017-08-02T21:08:23","modified_gmt":"2017-08-02T19:08:23","slug":"lieux-geometriques","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/lieux-geometriques\/","title":{"rendered":"Lieux g\u00e9om\u00e9triques"},"content":{"rendered":"<ul>\n<li><strong>Soient deux points $A$ et $B$ du plan. Soit $(D)$ une droite variable passant par $A$.<\/strong><br \/>\n<strong> Soit $M$ le sym\u00e9trique orthogonal de $B$ par rapport \u00e0 $(D)$.<\/strong><br \/>\n<strong> Que peut-on dire de $\\Gamma$ le lieu de $M$ lorsque $(D)$ varie ?<\/strong><br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-2057 aligncenter\" src=\"http:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/lieu1-300x188.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"188\" srcset=\"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/lieu1-300x188.png 300w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/lieu1-768x482.png 768w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/lieu1.png 902w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 85vw, 300px\" \/>Comme $A \\in (D)$ alors la sym\u00e9trie $S_{(D)}$ transforme $A$ en $A$.<br \/>\nCette sym\u00e9trie transforme $B$ en $A$.<br \/>\nComme une sym\u00e9trie orthogonale est une isom\u00e9trie c'est-\u00e0-dire qu' il y a conservation des distances<br \/>\npar cons\u00e9quent, $AM = AB$ donc $M$ appartient au cercle de centre $A$ et de rayon $AB$.<br \/>\nAlors $\\Gamma \\subset \\mathcal{C}(A ; AB)$<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-2063 aligncenter\" src=\"http:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/lieu1cor-300x226.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"226\" srcset=\"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/lieu1cor-300x226.png 300w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/lieu1cor-768x580.png 768w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/lieu1cor-1024x773.png 1024w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/lieu1cor-1200x906.png 1200w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/lieu1cor.png 1314w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 85vw, 300px\" \/><\/li>\n<li><strong>Soit un cercle $\\mathcal{C}(O ; R)$. Soit $A$ un point fixe situ\u00e9 \u00e0 l'ext\u00e9rieur de $\\mathcal{C}$.<\/strong><br \/>\n<strong>Soit $P$ un point variant sur $\\mathcal{C}$. La droite $(AP)$ recoupe le cercle $\\mathcal{C}$ en $P'$. Soit $M$ le milieu du segment $[PP']$.<\/strong><br \/>\n<strong>Que peut-on dire de $\\Gamma$ le lieu de $M$ lorsque $P$ varie sur $\\mathcal{C}$\u00a0?<\/strong><\/li>\n<li><strong>Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan. <\/strong><br \/>\n<strong>Soit $\\mathcal{C}$ le cercle de diam\u00e8tre $[AB]$.<\/strong><br \/>\n<strong>Soit $M$ un point de $\\mathcal{C}$ distinct de $A$ et de $B$.<\/strong><br \/>\n<strong>a) Quelle est la nature du triangle $AMB$ ?<\/strong><br \/>\n<strong>b) Soit $N$ le sym\u00e9trique de $A$ par rapport \u00e0 $M$.<\/strong><br \/>\n<strong>Quel est le lieu g\u00e9om\u00e9trique de $N$ lorsque $M$ varie sur $\\mathcal{C}$ ?<\/strong><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-2075 aligncenter\" src=\"http:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/lieu3-300x161.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"161\" srcset=\"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/lieu3-300x161.png 300w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/lieu3-768x413.png 768w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/lieu3.png 922w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 85vw, 300px\" \/><br \/>\nComme $N$ est le sym\u00e9trique de $A$ par rapport \u00e0 $M$ alors $\\overrightarrow{AN} = 2 \\overrightarrow{AM}$ donc l'homoth\u00e9tie $H$ de centre $A$ et de rapport $2$ transforme $M$ en $N$<br \/>\nOr $M$ d\u00e9crit le cercle de centre $O$ milieu de $[AB]$ et de rayon $\\dfrac{AB}{2}$ donc $N$ va d\u00e9crire l'image de ce cercle par l'homoth\u00e9tie $H$ \u00e0 savoir un cercle de centre $H(O) = B$ et de rayon $2 \\dfrac{AB}{2} = AB$.<br \/>\nMais $M \\neq A$ et $M \\neq B$ donc comme $H(A) = A$ et $H(B) = B'$ alors le lieu de $N$ est le cercle $\\mathcal{C}(B,AB)$ priv\u00e9 des points $A$ et $B'$.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-2076 aligncenter\" src=\"http:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/lieu3cor-300x197.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"197\" srcset=\"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/lieu3cor-300x197.png 300w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/lieu3cor-768x505.png 768w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/lieu3cor-1024x673.png 1024w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/lieu3cor.png 1156w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 85vw, 300px\" \/><\/li>\n<li><strong>Soit un cercle $(C)$ de centre $O$ passant par un point $A$. Soit $M$ un point de ce cercle. Soit $P$ le projet\u00e9 orthogonal de $A$ sur la tangente en $M$ au cercle ; \\\\<\/strong><br \/>\n<strong>Quel est le lieu du point $P$ lorsque $M$ d\u00e9crit $(C)$ ?<\/strong><br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-2079 aligncenter\" src=\"http:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/cardioide1-300x231.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"231\" srcset=\"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/cardioide1-300x231.png 300w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/cardioide1-768x591.png 768w, https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/cardioide1.png 850w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 85vw, 300px\" \/><\/li>\n<li><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Soient deux points $A$ et $B$ du plan. Soit $(D)$ une droite variable passant par $A$. Soit $M$ le sym\u00e9trique orthogonal de $B$ par rapport \u00e0 $(D)$. Que peut-on dire de $\\Gamma$ le lieu de $M$ lorsque $(D)$ varie ? Comme $A \\in (D)$ alors la sym\u00e9trie $S_{(D)}$ transforme $A$ en $A$. Cette sym\u00e9trie transforme &hellip; <a href=\"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/lieux-geometriques\/\" class=\"more-link\">Continuer la lecture<span class=\"screen-reader-text\"> de &laquo;&nbsp;Lieux g\u00e9om\u00e9triques&nbsp;&raquo;<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"footnotes":""},"class_list":["post-2055","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2055","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2055"}],"version-history":[{"count":10,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2055\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2080,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2055\/revisions\/2080"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2055"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}