{"id":2065,"date":"2017-07-28T02:08:16","date_gmt":"2017-07-28T00:08:16","guid":{"rendered":"http:\/\/www.mathnique.com\/site\/?page_id=2065"},"modified":"2019-03-07T23:18:43","modified_gmt":"2019-03-07T22:18:43","slug":"relations","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/relations\/","title":{"rendered":"Relations binaires"},"content":{"rendered":"<ul>\n<li><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Propri\u00e9t\u00e9s d'une relation :<\/span><\/strong><br \/>\nSoit un ensemble $E$ muni d'une relation\u00a0$\\mathcal{R}$. On note $\\Gamma$ l'ensemble des couples $(x,y)$ tels que $x \\ \\mathcal{R} \\ y$.<br \/>\nCet ensemble $\\Gamma$ s'appelle le graphe de la relation $\\mathcal{R}$.<br \/>\n$\\Gamma \\subset E \\times E$.<\/p>\n<ul>\n<li>Une relation\u00a0$\\mathcal{R}$ est\u00a0<span style=\"color: #ff0000;\"><em>r\u00e9flexive<\/em><\/span> lorsque $\\forall x \\in E \\qquad x \u00a0\\\u00a0\\mathcal{R} \\ x$<\/li>\n<li>Une relation\u00a0$\\mathcal{R}$ est<em><span style=\"color: #ff0000;\">\u00a0sym\u00e9trique<\/span><\/em> lorsque $\\forall x \\in E \\quad \\forall y \\in E \\qquad x \u00a0\\\u00a0\\mathcal{R} \\ y \\Longrightarrow y \\ \\mathcal{R} \\ x$<\/li>\n<li>Une relation\u00a0$\\mathcal{R}$ est<em><span style=\"color: #ff0000;\"> antisym\u00e9trique<\/span><\/em> lorsque $\\forall x \\in E \\quad \\forall y \\in E \\qquad x \u00a0\\\u00a0\\mathcal{R} \\ y \\text{ et } y \\ \\mathcal{R} \\ x \\Longrightarrow x = y$<\/li>\n<li>Une relation\u00a0$\\mathcal{R}$ est\u00a0<em><span style=\"color: #ff0000;\">transitive<\/span><\/em> lorsque $\\forall x \\in E \\quad \\forall y \\in E \\quad \\forall z \\in E \\qquad x \u00a0\\\u00a0\\mathcal{R} \\ y \\text{ et } y \\ \\mathcal{R} \\ z \\Longrightarrow x \\ \\mathcal{R} \\ z$<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>Relation d'\u00e9quivalence :<\/strong><\/span>\n<ul>\n<li>Une relation $\\mathcal{R}$ est dite relation d'\u00e9quivalence lorsqu'elle est r\u00e9flexive, sym\u00e9trique et transitive.<\/li>\n<li>$Cl(x) =\\{ y \\in E \/ x \\ \\mathcal{R} \\ x \\}$ s'appelle la classe d'\u00e9quivalence de $x$ et se note par exemple $\\bar{x}$ ou $\\dot{x}$.<br \/>\nC'est une partie de l'ensemble $E$ donc un \u00e9l\u00e9ment de $\\mathcal{P}(E)$.<\/li>\n<li>L'ensemble des classes d'\u00e9quivalence de $E$ pour la relation d'\u00e9quivalence $\\mathcal{R}$ s'appelle l'ensemble-quotient de $E$ par $\\mathcal{R}$ et est not\u00e9 $E\/\\mathcal{R}$<\/li>\n<li>Les \u00e9l\u00e9ments de\u00a0$E\/\\mathcal{R}$ en tant que parties de $E$ constitue une <strong>partition<\/strong> de $E$.<\/li>\n<li>L'application\u00a0<span class='MathJax_Preview'><img src='https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/plugins\/latex\/cache\/tex_c08a6478f8eaa4f0a56c777e0a5675bb.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt=\"\" \/><\/span><script type='math\/tex'><\/script> est surjective. Elle est appel\u00e9e <strong>surjection canonique<\/strong>.<br \/>\nAlors $x \\ \\mathcal{R} \\ y \\iff s(x) =s(y)$<\/li>\n<li>Si $f$ est une application de $E$ dans $F$ alors<br \/>\nOn peut d\u00e9finir une relation d'\u00e9quivalence $\\mathcal{R}$ dans $E$ par $x \\ \\mathcal{R} \\ y \\iff f(x) = f(y)$.<br \/>\nDe plus l'application\u00a0<span class='MathJax_Preview'><img src='https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/plugins\/latex\/cache\/tex_c1659323e3efac2c1bef3dd8b27e38c7.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt=\"\" \/><\/span><script type='math\/tex'><\/script> est bijective.<br \/>\nL' application $f$ va se factoriser en $f = i \\ \\circ \\ \\widetilde{f} \\ \\circ \\ s$<br \/>\no\u00f9 $i$ est l'injection canonique\u00a0\u00a0<span class='MathJax_Preview'><img src='https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-content\/plugins\/latex\/cache\/tex_4a816c24e95d71b646f8c5cffa7f2426.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt=\"\" \/><\/span><script type='math\/tex'><\/script><\/li>\n<li><span style=\"color: #008000;\"><strong>Exemples de relation d'\u00e9quivalence<\/strong><\/span> :\n<ul>\n<li>Dans $Z \\times Z^*$ la relation $(a,b) \u00a0\\ \\mathcal{R} \\ (c,d) \\iff ad = bc$ est une relation d'\u00e9quivalence.<br \/>\nL'ensemble $Z \\times Z^* \/\\mathcal{R}$ est $Q$ l'ensemble des nombres rationnels.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Relation d'ordre :<\/span><\/strong>\n<ul>\n<li>Une relatiosn $\\mathcal{R}$ est dite relation d'ordre si elle est r\u00e9flexive, antisym\u00e9trique et transitive.<br \/>\n<strong>Cet ordre et dit total<\/strong> si $\\forall x \\in E \\quad \\forall y \\in E \\qquad x \\mathcal{R} y \\text{ ou } y \\mathcal{R} x$.<br \/>\nSi $\\exists x \\in E \\quad \\exists y \\in E $ tels que l'on n'a pas $x \\mathcal{R} y $ et l'on n'a pas $y \\mathcal{R} x$ <strong>cet ordre est dit partiel.<\/strong><\/li>\n<li><em>Exemples<\/em> :\n<ul>\n<li>$\\leq$ est une relation d'ordre total dans $R$.<\/li>\n<li>la relation de divisibilt\u00e9 $\\mid$ dans $Z$ est une relation d'ordre partiel car par exemple $2$ ne divise pas $3$ et $3$ ne divise pas $2$.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>\u00a0Exercices<\/strong><\/span>\n<ul>\n<li><em>Ex 1 \u00a0:<\/em> On d\u00e9finit dans une population $P$ finie la relation suivante \"a un ami\".<br \/>\nOn sait que cette relation $\\mathcal{R}$ est antir\u00e9flexive(c'est-\u00e0-dire que personne n'est son propre ami) et sym\u00e9trique.<br \/>\nOn sait de plus qu'il y a au moins une personne qui a un ami et que si $2$ personnes ont le m\u00eame nombre d'amis, ils n'ont pas d'amis communs.<br \/>\nD\u00e9montrer qu'il y a au moins une personne qui n'a qu'un seul ami.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Propri\u00e9t\u00e9s d'une relation : Soit un ensemble $E$ muni d'une relation\u00a0$\\mathcal{R}$. On note $\\Gamma$ l'ensemble des couples $(x,y)$ tels que $x \\ \\mathcal{R} \\ y$. Cet ensemble $\\Gamma$ s'appelle le graphe de la relation $\\mathcal{R}$. $\\Gamma \\subset E \\times E$. Une relation\u00a0$\\mathcal{R}$ est\u00a0r\u00e9flexive lorsque $\\forall x \\in E \\qquad x \u00a0\\\u00a0\\mathcal{R} \\ x$ Une relation\u00a0$\\mathcal{R}$ &hellip; <a href=\"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/relations\/\" class=\"more-link\">Continuer la lecture<span class=\"screen-reader-text\"> de &laquo;&nbsp;Relations binaires&nbsp;&raquo;<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"footnotes":""},"class_list":["post-2065","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2065","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2065"}],"version-history":[{"count":18,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2065\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2628,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2065\/revisions\/2628"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2065"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}