{"id":653,"date":"2017-03-13T23:45:37","date_gmt":"2017-03-13T22:45:37","guid":{"rendered":"http:\/\/www2.mathnique.com\/site\/?page_id=653"},"modified":"2017-05-01T17:13:54","modified_gmt":"2017-05-01T15:13:54","slug":"algebres","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/algebres\/","title":{"rendered":"Alg\u00e8bres"},"content":{"rendered":"<ul>\n<li><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>Alg\u00e8bre sur un anneau commutatif\u00a0<\/strong><\/span>:<br \/>\nSoit $(A,+,\\times)$ un anneau commutatif.<br \/>\nOn dit que $(E,+,\\times,.)$ est une $A$-alg\u00e8bre lorsque :<\/p>\n<ul>\n<li>$+$ et $\\times$ sont internes dans\u00a0$E$<\/li>\n<li>$.$ est une op\u00e9ration externe de $A \\times E$ dans \u00a0$E$<\/li>\n<li>$(E,+,.)$ est un\u00a0$A$-module c'est-\u00e0-dire :\n<ul>\n<li>$(E,+)$ est un groupe commutatif<\/li>\n<li>et la loi externe $.$ v\u00e9rifie 4 propri\u00e9t\u00e9s :\n<ul>\n<li>$P_1 : \\forall a \\in A \\quad \\forall u\u00a0\\in E\u00a0\\quad \\forall v \\in E a.(u + v) = a.u + a .v$<\/li>\n<li>$P_2 :\\forall a \\in A \\quad \\forall b\u00a0\\in A \\quad \\forall u\u00a0\\in E\u00a0\\quad (a + b).u = a.u + b.u$<\/li>\n<li>$P_3 :\\forall a \\in A \\quad\u00a0\\forall\u00a0b\u00a0\\in A \\quad \\forall u\u00a0\\in E\u00a0\\quad a.(b.u) =(a \\times b).u$<\/li>\n<li>$P_4 :\\forall u\u00a0\\in E \\quad 1_A . u\u00a0= u$<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li>$\\times$ est bilin\u00e9aire c'est-\u00e0-dire que\n<ul>\n<li>$\\forall\u00a0u\u00a0\\in\u00a0E\u00a0\\quad \\forall v\u00a0\\in\u00a0E\u00a0\\quad \\forall w\u00a0\\in\u00a0E \u00a0\\quad (u +\u00a0v) \\times\u00a0w = u\u00a0\\times w\u00a0+ v\u00a0\\times w$<\/li>\n<li>$\\forall\u00a0u\u00a0\\in\u00a0E\u00a0\\quad\u00a0\\forall\u00a0v\u00a0\\in\u00a0E\u00a0\\quad\u00a0\\forall w\u00a0\\in\u00a0E \u00a0\\quad \u00a0u\u00a0\\times (v\u00a0+ w) = u\u00a0\\times v\u00a0+ u\u00a0\\times w$<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li>Lorsque $\\times$ est associative, l'alg\u00e8bre est dite associative.<\/li>\n<li>Lorsque $\\times$ admet un \u00e9l\u00e9ment neutre l'alg\u00e8bre est dite unif\u00e8re.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Alg\u00e8bre sur un corps<\/span><\/strong><br \/>\nLorsque $A$ est un corps commutatif $K$ alors $(E,+ , .)$ est un $K$-espace vectoriel.<\/li>\n<li><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>Morphisme d'alg\u00e8bres<\/strong><\/span><br \/>\nsi $E$ et $F$ sont des $A-$ alg\u00e8bres, on dit que l'application $f$ de $E$ dans $F$ est un morphisme d'alg\u00e8bres lorsque $f$ est un morphisme pour chacune des lois internes et aussi pour la loi externe c'est-\u00e0-dire :<\/p>\n<ul>\n<li>$\\forall u\u00a0\\in E\u00a0\\quad \\forall v \\in E \\qquad f(u + v) = f(u) + f(v)$<\/li>\n<li>$\\forall u\u00a0\\in E\u00a0\\quad \\forall v \\in E \\qquad f(u \\times\u00a0v) = f(u) \\times\u00a0f(v)$<\/li>\n<li>$\\forall a \\in A \\quad \\forall u\u00a0\\in E \\qquad f(a.u) =a.f(u)$<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>Exemples d'alg\u00e8bres<\/strong><\/span>\n<ul>\n<li>Tout corps commutatif $K$ est une alg\u00e8bre sur lui-m\u00eame.<\/li>\n<li>Le corps $(C,+,\\times,\\times)$ est une $R$-alg\u00e8bre associative, \u00a0unif\u00e8re et commutative de dimension $2$.<\/li>\n<li>L'ensemble des applications de $R$ dans $R$ not\u00e9 $\\mathcal{F}(R,R)$ muni des op\u00e9rations $f + g, fg, g \\circ f$ est une $R$-alg\u00e8bre.<\/li>\n<li>L'ensemble des polyn\u00f4mes\u00a0de variable $X$ \u00e0 coefficients r\u00e9els\u00a0\u00a0not\u00e9 $\\mathcal{P}(R,R)$ muni des op\u00e9rations $A + B, AB, \\lambda A$ est une $R$-alg\u00e8bre.<\/li>\n<li>Tout corps fini est une alg\u00e8bre associative, unif\u00e8re et commutative de dimension $n$ sur son sous-corps premier $F_p =\\dfrac{Z}{p \\ Z}$ donc son ordre est $p^n$.<\/li>\n<li><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Alg\u00e8bre sur un anneau commutatif\u00a0: Soit $(A,+,\\times)$ un anneau commutatif. On dit que $(E,+,\\times,.)$ est une $A$-alg\u00e8bre lorsque : $+$ et $\\times$ sont internes dans\u00a0$E$ $.$ est une op\u00e9ration externe de $A \\times E$ dans \u00a0$E$ $(E,+,.)$ est un\u00a0$A$-module c'est-\u00e0-dire : $(E,+)$ est un groupe commutatif et la loi externe $.$ v\u00e9rifie 4 propri\u00e9t\u00e9s : &hellip; <a href=\"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/algebres\/\" class=\"more-link\">Continuer la lecture<span class=\"screen-reader-text\"> de &laquo;&nbsp;Alg\u00e8bres&nbsp;&raquo;<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"footnotes":""},"class_list":["post-653","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/653","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=653"}],"version-history":[{"count":18,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/653\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1543,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/653\/revisions\/1543"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=653"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}