{"id":655,"date":"2017-03-13T23:46:27","date_gmt":"2017-03-13T22:46:27","guid":{"rendered":"http:\/\/www2.mathnique.com\/site\/?page_id=655"},"modified":"2019-03-07T23:21:06","modified_gmt":"2019-03-07T22:21:06","slug":"lois-de-composition-internes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/lois-de-composition-internes\/","title":{"rendered":"Lois de composition internes"},"content":{"rendered":"<ul>\n<li><strong><span style=\"color: #ff0000;\">D\u00e9finition<\/span><\/strong><br \/>\n<span style=\"color: #0000ff;\">Soit $E$ un ensemble. on appelle loi (de composition) interne toute application<\/span><span>\u00a0<\/span><span style=\"color: #0000ff;\">de $E \\times E$ dans $E$ qui \u00e0 tout couple $(x,y)$ associe l'\u00e9l\u00e9ment $x \\ast y$.<\/span><\/li>\n<li><span style=\"color: #000000;\"><strong>Exemples :<\/strong><\/span>\n<ul>\n<li>La somme de deux entiers \u00a0relatifs \u00a0est un entier \u00a0relatif donc l'addition est \u00a0une op\u00e9ration interne dans $Z$ l'ensemble des entiers\u00a0relatifs.<\/li>\n<li>La somme de deux entiers \u00a0naturels est un entier \u00a0naturel donc l'addition est \u00a0une op\u00e9ration interne dans $N$ l'ensemble des entiers\u00a0naturels.<\/li>\n<li>La somme de deux entiers \u00a0pairs est un entier \u00a0pair donc l'addition est une op\u00e9ration interne dans $P$ l'ensemble des entiers pairs.<br \/>\nEn effet, si $n_1$ est pair et si $n_2$ est pair alors $\\exists k_1 \\in Z \\quad n_1 = 2k_1$ et\u00a0$\\exists k_2 \\in Z \\quad n_2 = 2k_2$ donc $n_1 + n_2 = 2k_1 + 2k_2 = 2(k_1 + k_2)$ o\u00f9 $k_1 + k_2$ est un entier donc $n_1 + n_2$ est pair<\/li>\n<li>La somme de deux nombres r\u00e9els\u00a0 est un nombre r\u00e9el\u00a0donc l'addition est \u00a0une op\u00e9ration interne dans $R$ l'ensemble des\u00a0nombres r\u00e9els.<\/li>\n<li>La somme de deux\u00a0nombres complexes\u00a0est un\u00a0nombre complexe\u00a0donc l'addition est \u00a0une op\u00e9ration interne dans $C$ l'ensemble des\u00a0nombres complexes.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><span style=\"color: #000000;\"><strong>Contre-exemples :<\/strong><\/span><br \/>\nLa somme de deux entiers \u00a0impairs est un entier \u00a0pair donc l'addition n'est pas une op\u00e9ration interne dans $I$ l'ensemble des entiers impairs.<br \/>\nEn effet, si $n_1$ est impair et si $n_2$ est impair alors $\\exists k_1 \\in Z \\quad n_1 = 2k_1 + 1$ et\u00a0$\\exists k_2 \\in Z \\quad n_2 = 2k_2 + 1$ donc $n_1 + n_2 = 2k_1 \u00a0+ 1 + 2k_2 + 1 = 2(k_1 + k_2 + 1)$ o\u00f9 $k_1 + k_2 + 1$ est un entier donc $n_1 + n_2$ est pair.<\/li>\n<li><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Propri\u00e9t\u00e9s d'une loi interne dans $E$<\/span><\/strong>\n<ul>\n<li><strong><span style=\"color: #339966;\">Commutativit\u00e9 :<\/span><\/strong><br \/>\n<span style=\"color: #0000ff;\">La loi $\\ast$ est commutative dans $E$ lorsque $\\forall x \\in E \\quad \\forall y \\in E \\quad x \\ast y = y \\ast x$<\/span><\/p>\n<ul>\n<li><strong>Exemples :<\/strong>\n<ul>\n<li>L'addition $+$ est commutative dans $N, Z, D, Q, R, C$<\/li>\n<li>La multiplication $\\times$ est commutative dans $N, Z, D, Q, R, C$<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li>\u00a0<strong>Contre-exemple :<\/strong>\n<ul>\n<li>La multiplication de matrices carr\u00e9es n'est pas commutative :<br \/>\nPar exemple,\u00a0Si $M = \\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 \\\\ 0 &amp; 0 \\end{pmatrix}$ et $N = \\begin{pmatrix} 0 &amp; 1 \\\\ 0 &amp; 0 \\end{pmatrix}$ alors<br \/>\n$MN = \\begin{pmatrix} 0 &amp; 1 \\\\ 0 &amp; 0 \\end{pmatrix}$ et $NM = \\begin{pmatrix} 0 &amp; 0 \\\\ 0 &amp; 0 \\end{pmatrix}$<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong><span style=\"color: #339966;\">Associativit\u00e9 :<\/span><\/strong><br \/>\n<span style=\"color: #0000ff;\">La loi $\\ast$ est associative dans $E$ lorsque $\\forall x \\in E \\quad \\forall y \\in E \\quad \\forall z \\in E (x \\ast y ) \\ast z = x \\ast (y \\ast z)$<\/span><\/p>\n<ul>\n<li><strong>Exemple :<\/strong>\n<ul>\n<li>L'addition $+$ est associative dans $N, Z, D, Q, R, C$<\/li>\n<li>La multiplication $\\times$\u00a0est associative dans $N, Z, D, Q, R, C$<\/li>\n<li>La composition $ \\circ $ d'applications de $E$ dan $E$ est associative car<br \/>\nsi $f,g,h$ sont des applications de $E$ dans $E$ alors $(f \\circ g) \\circ h = f \\circ (g \\circ h)$<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong><span style=\"color: #339966;\">Existence d'un \u00e9l\u00e9ment neutre :<\/span><\/strong><br \/>\n<span style=\"color: #0000ff;\">La loi $\\ast$ admet un \u00e9l\u00e9ment neutre dans $E$ lorsque $\\exists e \\in E \\quad \\forall x \\in E \\quad x \\ast e = e \\ast x = x$<\/span><\/p>\n<ul>\n<li><strong>Exemples :<\/strong>\n<ul>\n<li>$0$ est \u00e9l\u00e9ment neutre de l'addition $+$ dans $N, Z, D, Q, R, C$<\/li>\n<li>$1$ est \u00e9l\u00e9ment neutre de la multiplication\u00a0$*$ dans $N, Z, D, Q, R, C$<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong><span style=\"color: #339966;\">Existence d'un \u00e9l\u00e9ment sym\u00e9trique d'un \u00e9l\u00e9ment :<\/span><\/strong><br \/>\n<span style=\"color: #0000ff;\">Un \u00e9l\u00e9ment $x$ de $E$ admet un \u00e9l\u00e9ment sym\u00e9trique pour la loi $\\ast$ dans $E$ si<\/span><span>\u00a0<\/span><span style=\"color: #0000ff;\">$\\exists x'\u00a0\\in E \\quad x \\ast x'\u00a0= x' \\ast x = e$<\/span><\/p>\n<ul>\n<li><strong>Exemples :<\/strong>\n<ul>\n<li>$-x$ est l'\u00e9l\u00e9ment sym\u00e9trique de $x$ dans $N, Z, D, Q, R, C$ muni de l'addition.<\/li>\n<li>$x^{-1} =\\dfrac{1}{x}$\u00a0est l'\u00e9l\u00e9ment sym\u00e9trique de $x$ dans\u00a0$ R^*$ muni de la multiplication.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>D\u00e9finition Soit $E$ un ensemble. on appelle loi (de composition) interne toute application\u00a0de $E \\times E$ dans $E$ qui \u00e0 tout couple $(x,y)$ associe l'\u00e9l\u00e9ment $x \\ast y$. Exemples : La somme de deux entiers \u00a0relatifs \u00a0est un entier \u00a0relatif donc l'addition est \u00a0une op\u00e9ration interne dans $Z$ l'ensemble des entiers\u00a0relatifs. La somme de deux &hellip; <a href=\"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/lois-de-composition-internes\/\" class=\"more-link\">Continuer la lecture<span class=\"screen-reader-text\"> de &laquo;&nbsp;Lois de composition internes&nbsp;&raquo;<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"footnotes":""},"class_list":["post-655","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/655","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=655"}],"version-history":[{"count":22,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/655\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2629,"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/655\/revisions\/2629"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=655"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}