{"id":66,"date":"2017-01-29T15:28:17","date_gmt":"2017-01-29T14:28:17","guid":{"rendered":"http:\/\/www2.mathnique.com\/site\/?page_id=66"},"modified":"2020-01-30T15:24:13","modified_gmt":"2020-01-30T14:24:13","slug":"les-nombres-triangulaires","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.mathnique.com\/site\/les-nombres-triangulaires\/","title":{"rendered":"Les Nombres triangulaires"},"content":{"rendered":"

\"\"\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0(photo : collection personnelle Laurent VALERE)<\/em><\/p>\n

Le citoyen lambda qui passe devant le m\u00e9morial du Cap 110 ne voit qu'un groupe de statues face \u00e0 la mer. S'il a la curiosit\u00e9 de lire les panneaux, il comprendra que cette oeuvre d'art s'\u00e9rige l\u00e0 en la m\u00e9moire de disparus.
\n\"\"\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0Photo (Droits r\u00e9serv\u00e9s)<\/em>
\nL'individu curieux et un tant soit peu sensibilis\u00e9 aux Math\u00e9matiques y voit une disposition g\u00e9om\u00e9trique particuli\u00e8re des statues.
\nLe professeur de Math\u00e9matiques lui, au del\u00e0 de cette disposition g\u00e9om\u00e9trique, voit mati\u00e8re \u00e0 faire d\u00e9couvrir aux \u00e9l\u00e8ves\u00a0les nombres triangulaires.
\nLa rencontre avec l'artiste Laurent VALERE, cr\u00e9ateur de l'oeuvre, avec Le S\u00e9nateur ex-Maire du Diamant Mr Serge LARCHER le commanditaire de l'oeuvre et l'historienne Elisabeth LANDI nous a encourag\u00e9 \u00e0 jeter un regard math\u00e9matique sur cette oeuvre \u00a0de L'anse Cafard.<\/p>\n

\"\"
\nEt si le cr\u00e9ateur des statues avait continu\u00e9 : 6 statues au rang 6, 7 statues au rang 7, ..., n statues au rang n, combien y aurait-il en tout de statues, autrement dit que vaut la somme qu'on appelle le nombre triangulaire $T_n$
\n$ T_n\u00a0= 1 + 2 + 3 + \\cdots + (n \\ - 1) + n $
\nSerez-vous capable de d\u00e9terminer cette somme $T_n$ en utilisant 3 m\u00e9thodes diff\u00e9rentes ?<\/p>\n

M\u00e9thode 1 (niveau CM2) : celle dite du Petit GAUSS du nom du g\u00e9nial math\u00e9maticien allemand Carl Friedrich GAUSS
\n\"\"<\/strong><\/p>\n

On pose $ S = 1 + 2 + 3 + \\cdots + n$<\/strong>
\n 1\u00b0) R\u00e9\u00e9crire cette m\u00eame somme dans l'autre sens<\/strong>
\n $ S = 1 + 2 + 3 + \\cdots + n$<\/strong>
\n 2\u00b0) Calculer alors $ 2S $<\/strong>
\n 3\u00b0) En d\u00e9duire que $ S = \\dfrac{n( n + 1)}{2} $<\/strong><\/p>\n

Corrig\u00e9 :
\n$S = \\qquad 1 + \\qquad 2 \\ \u00a0 \\ \u00a0+ \\qquad \u00a0 3 \\ \u00a0\\ + \\cdots + \\qquad (n - 2) + (n - 1) + \\qquad n$
\n$S = \\qquad n + \\ \\ \\ (n - 1) + \\ \\ ( n - 2) + \\cdots + \\qquad \u00a03 \\ \u00a0\\ \\ + \u00a0\\qquad 2 \\ \u00a0\\ \u00a0\\ + \\qquad 1$
\nPar cons\u00e9quent,
\n$2S = (n + 1) \u00a0+ \u00a0(n + 1) + ( n + 1) + \\cdots + \u00a0 (n + 1) + \u00a0 (n + 1) \u00a0+ \u00a0(n + 1)$
\nDonc $2S = n(n + 1)$ d'o\u00f9 $S = \\dfrac{n(n + 1)}{2}$<\/p>\n

M\u00e9thode 2 (Chou pou t\u00eat) - niveau CM2<\/strong><\/span><\/p>\n

\"\"<\/span>Le nombre de jetons rouges est \u00e9gal au nombre de jetons verts.
\nIl y a 5 rang\u00e9es de 6 jetons. Le nombre total de jetons est \u00e9gal \u00e0 30 (soit $ 5 \\times 6 $)
\nLe nombre de jetons rouge est donc 15 soit $ \\dfrac{5 \\times 6}{2} $
\nEn g\u00e9n\u00e9ralisant \u00e0 $ n $ rang\u00e9es de $n + 1 $ jetons , le nombre total de jetons est\u00a0$ \\dfrac{n( n + 1)}{2} $<\/p>\n

M\u00e9thode 3 - Par r\u00e9currence (niveau Terminale)<\/strong><\/span>
\nNotons $pr(n)$ la propri\u00e9t\u00e9 suivante $1 + 2 + 3 + \\cdots + (n - 1) + n = \\dfrac{n(n + 1)}{2}$
\nEtape 1 . Initialisation<\/span><\/em>
\na -t-on $pr(1)$ ? c'est-\u00e0-dire\u00a0a -t-on $1 = \\dfrac{1(1 + 1)}{2}$?
\nOui. Donc $pr(1)$ est vraie
\nEtape 2: H\u00e9r\u00e9dit\u00e9<\/span><\/em>
\nSupposons que pour un certain entier naturel $n \\geq 1$ la propri\u00e9t\u00e9 $pr(n)$ est vraie donc supposons que $1 + 2 + 3 + \\cdots + (n - 1) + n = \\dfrac{n(n + 1)}{2}$
\nAlors $1 + 2 + 3 + \\cdots + (n - 1) + n + ( n + 1) = \\dfrac{n(n + 1)}{2} + n + 1 = \\dfrac{n(n + 1) + 2(n + 1)}{2} = \\dfrac{(n + 1)(n + 2)}{2} $ donc\u00a0$pr(n + 1)$ est vraie<\/p>\n

Conclusion<\/em><\/span>
\nLa propri\u00e9t\u00e9 $pr$ est initialis\u00e9e en $n = 1$ et est h\u00e9r\u00e9ditaire donc est vraie pour tout entier naturel $n \\geq 1$.<\/p>\n

M\u00e9thode 4 - Niveau Premi\u00e8re - Utilisation des polyn\u00f4mes $P(x)$ de degr\u00e9 $2$ tels que\u00a0<\/span><\/strong>
\n$\\forall x \\in R \\quad P(x + 1) - P(x) = x$
\n<\/span><\/strong>a) D\u00e9terminer un polyn\u00f4me $P(x)$ de degr\u00e9 $2$ tel que $\\forall x \\in R \\quad P(x + 1) - P(x) = x$<\/strong>
\n b) En d\u00e9duire la valeur de $S_n = 1 + 2 + 3 + \\cdots + n$<\/strong>
\nD\u00e9monstration
\n$\\forall x \\in R \\quad P(x + 1) - P(x) = x \\ iff a(x + 1)^2 + b(x + 1) + c = ax^2 + bx + c$
\n$\\iff ax^2 + 2ax + a + bx + b + c = ax^2 + 2ax + c \\iff 2ax + a + b = x \\iff 2a = 1 \\text{ et } a + b = 0$
\n(par identification des coefficients des mon\u00f4mes de m\u00eame degr\u00e9)
\n$\\iff a = \\dfrac{1}{2}\u00a0 \\text{ et }\u00a0\u00a0b = \\dfrac{-1}{2}$
\nL'ensemble des polyn\u00f4mes cherch\u00e9s est donc l'ensemble des polyn\u00f4mes de la forme
\n$P(x) =\u00a0 \\dfrac{1}{2} \u00a0x^2 -\u00a0 \\dfrac{1}{2} x \u00a0+ c$ o\u00f9 $c \\in R$
\nChoisissons donc un de ces polyn\u00f4mes par exemple\u00a0$P(x) =\u00a0 \\dfrac{1}{2} \u00a0x^2 -\u00a0 \\dfrac{1}{2} x$
\nComme $P(x + 1) - P(x) = x$ pour tout r\u00e9el $x$ alors cette propri\u00e9t\u00e9 est vraie pour tous les entiers naturels $1, 2, 3, \\cdots n$<\/span><\/p>\n

\"\"On obtient donc $P(n + 1) - P(1) = S$. or $P(1) = 0$
\ndonc $S_n = P(n + 1) =\u00a0 \\dfrac{1}{2} \u00a0(n + 1)^2 -\u00a0 \\dfrac{1}{2} (n + 1) = \u00a0 \\dfrac{1}{2} \u00a0(n + 1)[ n + 1 - 1]$
\nPar cons\u00e9quent $S_n =\u00a0\\dfrac{n(n + 1)}{2}$<\/p>\n