Débuts de l'Algèbre(al-jabr)

Muhammad Ibn Musa Al-Khwarismi(780 Khiva-850 Bagdad))

    • Bagdad, l'actuelle capitale de l'Irak, était dans les années 700-800 le centre du monde scientifique.
      En 830 y est écrit le premier livre d'algèbre (al-jabr) de toute l'histoire de l'humanité : Hisab al-jabr w'al-muqabalâh (Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison) par le mathématicien AL-KHAWARISMI, mathématicien perse membre de la maison de la Sagesse de Bagdad.

      Ses écrits, rédigés en langue arabe , puis traduits en latin à partir du XII-ème siècle, ont permis l'introduction de l'algèbre en Europe.  Sa vie s'est déroulée en totalité à l'époque de la dynastie abbasside.
      Son nom est à l’origine du mot algorithme ( son nom a été latinisé en Algoritmi) et le titre de l'un de ses ouvrages  à l'origine du mot algèbre . L'utilisation des chiffres arabes et leur diffusion dans le Moyen orient et en Europe  sont dues à un autre de ses livres nommé traité du système de numération des Indiens  qui fut diffusé via la langue arabe dans tout l'empire abbasside.

       Les chiffres arabes
      Tableau de Hamid artiste       martiniquais d'origine marocaine.
      Collection personnelle Christian CYRILLE

    • AL-KHAWARISMI a classifié les algorithmes existants, en particulier selon leurs critères de terminaison, mais ne revendique pas leur invention : l'algorithme le plus connu du monde est celui d' Euclide, au programme d'enseignement de tous les pays, et les premiers algorithmes connus le furent sans surprise dans un pays devant gérer des calculs élaborés de l'impôt : à Babylone.
    • Equations du premier et du second degré :
      AL-KHAWARISMI montre comment résoudre les équations du premier et du second degré puis il applique ces techniques à la résolution de problèmes très courants dans la vie quotidienne de l'époque en particulier les problèmes d'héritage et de succession.
      Pas de symbolisme mais il distingue 3 sortes de nombres : les nombres simples, l'inconnue qu'il appelle la chose (say) , le carré de l'inconnue (mal). A cett époque, tous les coefficients sont positifs et tous les termes doivent apparaître avec additivement. De ce fait on se ramène à 6 types canoniques :

        • $ax^2 = bx$
        • $ax^2 = c$
        • $bx = c$
        • $ax^2 + bx = c$
        • $ax^2 + c = bx$
      • $bx + c = ax^2$
        al-jahr signifie restauration, réunion de ce qui a été cassé et correspond au passage d'un terme négatif dans l'autre membre de l'équation
        al-muqabalah est la réduction de termes semblables
        $2x^2 - 13x + 8 =x^2 + 3$
        $2x^2 + 8 = x^2 + 13 x + 3$ (al-jahr)
        $x^2 + 5 = 13 x $ (al-muqabalah)
    • Un exemple de résolution de $x^2 + bx = c$ où $b > 0$ et $c > 0$
      A cette époque, à Bagdad, les nombres négatifs étaient inconnus. AL-KHAWARISMI utilise un algorithme à support géométrique pour déterminer la solution positive des équations du second degré lorsqu'elle se présentent sous la forme $x^2 + bx = c$ où $b > 0$ et $c > 0$
      Par exemple, pour résoudre l'équation $x^2 + 10 x =39$
      Il propose de tracer un carré de côté $x$ et de compléter par deux rectangles de dimensions $x$ et la moitié de $10$ (c'est-à-dire $5$) pour obtenir un grand carré}

      Ce grand carré a pour aire $(x^2 + 10x ) + 5^2$ c'est-à-dire $39 + 25$ soit $64$.
      Donc il a pour côté $8$ .
      Il suffit alors de lui retirer $5$ pour obtenir le côté $x$ cherché : $x = 3$.
    • Cours personnel sur les binômes et les trinômes :
      ch04ec1
    • Demeure le problème de degré 3 :
      Il tire son origine d'un certain nombre de problèmes très célèbres énoncés dans les mathématiques grecques comme :

        • la duplication du cube :
          Peut-on trouver un cube de côté $x$ dont le volume soit le double d'un cube donné de côté $a$ cela revient à résoudre l'équation $x^2 =2a^3$
        • la trisection d'un angle :
          Comment partager un angle en 3 parties égales ?
          On cherche donc $\theta$ tel que $3\theta =\alpha \iff sin(3\theta) = sin(\alpha) \iff 3 sin(\theta)-4sin^3(\theta) = sin(\alpha) \iff -4x^3 + 3x  = sin(\alpha)$ avec $x = \sin(\theta)$
      • la construction de polygônes réguliers
    • Evariste Galois
    • Les travaux d'EVARISTE GALOIS donnent également la réponse à deux de ces trois célèbres problèmes posés par les Grecs : Galois démontre qu’en utilisant seulement un compas et une règle, il est impossible de partager un angle quelconque en trois parties égales et de construire un cube dont le volume est le double du volume d’un cube donné.
    • OMAR KHAYYAM est un savant, poète(auteur de célèbres quatrains Les Rubayat), astronome, mathématicien né vers 1402 dans l'actuel Iran mort vers 1122.
      Il a entre autres écrit un traité d'algèbre où sont étudiées et classées les équations de degré 3 et où est proposé un procédé de résolution géométrique par intersection de coniques.
      Par exemple, la résolution de l'équation $x^3 + ax = b$ le conduit à étudier l'intersection de la parabole d'équation $y =\frac{x^2}{\sqrt{a}}$ et le cercle de diamètre $[OA]$ où $O(0;0)$ et $A(0;\frac{b}{a})$
      Mais il ne parvient pas à trouver un procédé général de résolution comme il le déplore dans lapréface de son traité :
      "Mais, à la démonstration de ces espèces, si l'objet du problème est un nombre absolu, ni moi, ni aucun homme des hommes de cet art, ne sommes parvenus(peut-être d'autres qui nous succéderont pourront-ils le faire) que pour les trois premiers degrés qui sont le nombre, la chose et le carré."
    • Le calcul algébrique passe du monde arabe à l'Italie grâce à Léonard de PISE alias FIBONACCI,(1175-1250) auteur du fameux traité Liber Abaci (Livre des calculs 1202)
    • Le degré 3 se résout à la Renaissance avec CARDAN(Ars Magna 1545). l'histoire est complexe et fait intervenir aussi
    • SCIPIO DEL FERRO

      Nicolo Fontana TARTAGLIA

      et Girolamo CARDANO
  • On sait que $(u + v)^3 = 3uv(u + v) + u^3 + v^3$ ce qui s'écrit en posant $x = u + v$ donc
    $x^3 = 3uvx + u^3 + v^3$
    Pour résoudre par exemple $x^3 =6x +9$ on rapproche es deux écritures obtenus : $x^3 = 3uvx +u^3 +v¨3$ et $x^3 =6X + 9$ ce qui conduit à poser $3uv = 6$ et $u^3 + v¨3 = ç$
    D'où $u^3v^3 =8$ et $u^3 + v^3 = 9$. On est finalement ramené à une équation du second degré $X^2 -9X + 8 =$ qui amour solutions $X =1$ et $X = 8$ donc $u =2 ; v = 1; x = 3$
    Cette méthode appliquée au cas général donne les célèbres formules de CARDAN
    •  Sujet sur la résolution par Cardan de $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 :
      cardan
    • Pour résoudre $x^3 = 15x + 4$ en appliquant les formules de CARDAN ou en reprenant la règle précédente, on tombe sur $\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+ \sqrt[3]{2-\sqrt{-121}} $ alors que $4$ est une solution évidente. CARDAN a a pelé sophistiquée ces racines carrées de nombres négatifs et qualifia ce résultat "d'aussi subtil qu'inutile".
      C'est Raphaël BOMBELLI en 1572 dans son algèbre qui franchit le pas et accepte de travailler avec ces nombres complexes.
      Raphael BOMBELLI montre que
      $(2 + \sqrt{-1})^3 = 2 + 11\sqrt{-1} = 2 + \sqrt{-121}$ et que
      $(2 - \sqrt{-1})^3 = 2 - 11\sqrt{-1} = 2 - \sqrt{-121}$ et retrouve le $4$ attendu.
      Il a fallu attendre le début du $19$ème siècle pour que non seulement les nombres complexes mais aussi les nombres négatifs soient devenus des nombres  part entière.
    • Le degré  4  est résolu par un élève de CARDAN : Ludovico FERRARI
      .
  • (sources : Wikipedia , un article d'un auteur inconnu, recherches personnelles)