Calcul formel

Un logiciel de calcul symbolique et formel (en anglais CAS : Computer Algebric System) permet de mener toutes sortes de calcul :

1) Calculs exacts sur les nombres entiers,décimaux, réels ou complexes

2) Calculs sur les polynômes(factorisation, développement)

3) Calculs sur les vecteurs et matrices

Il permet également d'opérer formellement sur les fonctions ( calcul de limites, dérivation, intégration,résolution d'équations) et de les représenter.

Un tel outil peut soit servir de vérificateur de résultats ( il est alors "assistant de mathématiques " et devrait être mis à la disposition des élèves dans la salle de classe), soit être le calculateur ou traceur de courbes utilisé par le professeur afin de mettre en évidence ou d'illustrer telle ou telle notion ou méthode de calcul.

Les élèves peuvent, parce que dégagés des difficultés calculatoires prises en charge par le logiciel, se consacrer à la formulation d'hypothèses, à la compréhension et à l'assimilation des notions présentées, à la stratégie de conduite des calculs.

    • Exemples de logiciels de calcul formel :
      • Mathematica (USA) logiciel payant créé en 1986 par Stephen  Wolfram est le logiciel le plus puissant et le plus utilisé dans le monde.
        Il tourne sous Linux, Unix, Mac OS et Windows. On en est à la version 12.
        C'est plus qu'un logiciel de calcul formel , c'est un logiciel de calcul scientifique et technique disposant de près de $5000$ fonctions intégrées.
        Mathematica a accès au vaste Wolfram Knowledgebase, incluant des données instantanées du monde réel à travers des milliers de domaines.
      • En deuxième position le logiciel  payant Maple (Canada) logiciel de calcul formel libre tournant sous Linux, Mac OS et Windows.
      • Dérive (SoftWareHouse France) logiciel de calcul formel libre tournant sous Windows.
      • XCas (France) logiciel de calcul formel libre tournant sous Linux, Mac OS et Windows développé par Bernard Parisse de l'Université Joseph Fourier de Grenoble.
        On peut signaler deux logiciels orientés calcul numérique  très pratiques en programmation matricielle.
      • Mathlab(USA) logiciel de calcul formel libre tournant sous Linux, Mac OS et Windows.
      • SCILAB logiciel  de calcul formel libre tournant sous Linux, Mac OS et Windows
  • Quelques Conseils avant d'utiliser un logiciel de calcul formel.
    • Avoir une maturité suffisante en Mathématiques et donc réfléchir avant d'agir pour savoir détecter les erreurs.
      • Exemple 1 :
        Maple 19 donne une réponse à
        $\int_a^b \sqrt{(x -a)(x -b)} \ dt$ qui n'a pas de sens car si $a < b$ alors $ln(b - a)$ a un sens alors que $ln(a - b)$ n'en a pas !!!
      • Exemple 2 :
        Sous Mathematica version 12, l'instruction $Sqrt[-4]$ affiche en réponse $2I$.
        Idem sous Maple 19 l'instruction $sqrt(-4)$ affiche en réponse $2I$ Or tout nombre complexe non nul a deux racines carrées complexes en l'occurrence: $Z = -4$ a deux racines carrées complexes $-2i$ et $2i$
    • Il faut aussi savoir admettre que certains résultats sont inutilisables à un niveau donné lorsque le logiciel utilise des fonctions spéciales inconnues de l'utilisateur car nécessitant un niveau mathématique supérieur à celui qu'il possède.
  • TP Maple :
    • Exemple 1 : Introduction de l'Intégration de Riemann à l'aide du Logiciel Maple :
      calculformelriemann

      • Arithmétique : congruences, pgcd - programmation
  • TP Dérive :

Auteur : Casimir FILIN (Collège de Rivière-Pilote)

  • Bibliographie :

    • Dossier calcul formel, Tangente n° 89 - Novembre-décembre 2002
    • Faire des maths avec Mathematica, Norbert VERDIER - Editions Ellipses 2001