Les épreuves de statistiques dans les BTS.
(Note de l'Inspection générale de mathématiques)
On observe, dans les propositions de sujets qui sont faites pour les épreuves de mathématiques des différents BTS, de nombreuses erreurs dans les exercices portant sur les statistiques.
Certaines d'entre elles se retrouvent d'ailleurs dans les épreuves proposées aux candidats ce qui fait désordre.
La crédibilité de la formation dispensée aux élèves est en cause.
De plus, il est bien connu que les annales régulent l'enseignement fait.
Des sujets correctement rédigés inciteront les professeurs à améliorer la qualité scientifique de leur cours.
L'objet de la présente note est d'attirer l'attention des professeurs sur les plus courantes de ces erreurs.
Objectif poursuivi :
Il est indispensable, pour que les anciens élèves des BTS puissent suivre avec profit les cours de la formation permanente, que la formation initiale soit de qualité et donc que les professeurs ne répètent pas des erreurs parce que pour eux les sujets d'examen sont à priori sans tâche.
- Statistique Descriptive
- Le regroupement en classe des données.
Quand le nombre d'observations d'une variable réelle est important, il est d'usage de faire des classes et de fournir un tableau où figurent les classes et le nombre d'observations par classe.
A noter qu'il s'agit d'une première étape de la démarche statistique. On ne s'intéresse plus aux individus mais à la population en donnant une idée de la distribution de celle-ci.
En contre-partie, on perd de l'information.
Dans ces conditions, demander aux élèves de calculer médiane, moyenne, écart-type de la variable n'a pas de sens, car on ne connaît plus les valeurs prises par la variable mais seulement les intervalles dans lesquels elles se trouvent.
Tout au plus peut-on en calculer des valeurs approchées.
La tradition veut que pour trouver une valeur approchée de la médiane on fasse l'approximation suivante : à l'intérieur d'une classe les observations sont distribuées uniformément.
Cela veut dire que , si $n$ est le nombre d'observations, la fonction de répartition dite empirique
$F : x \mapsto \dfrac{1}{n} \times \text{le nombre d'observations inferieures a } x$
qui n'est connue qu'aux extrémités des classes , est approximée par une fonction continue affine par morceaux.
En revanche, pour trouver une valeur approchée de la moyenne et de l'écart-type, on procède à l'approximation suivante : on fait comme si toutes les observations d'une classe avaient comme valeur commune le centre de la classe.
$F(x)$ est alors approximée par une fonction en escalier dont les points de discontinuité sont les centres des classes.
Pour le calcul de la moyenne, les deux approximations conduisent à la même valeur.
Il n'en est pas de même pour le calcul de la variance. La variance est systématiquement sous-estimée car on néglige la variation à l'intérieur de chaque classe.
Si $\sigma'$ est l'approximation de l'écart-type $\sigma$ de la série statistique calculée ainsi , on a $\sigma'< \sigma$.
Soit $\sigma"$ l'approximation de $\sigma$ faite en supposant, comme pour la médiane, les observations uniformément distribuées l'intérieur de chaque classe.
S'il y a $k$ classes et si $I_j$ est la largeur de la classe $j$, un calcul simple montre que
$\sigma^2 = \sigma_1^2 + \dfrac{1}{12n} \sum n_j I_i^2$
sigma2 au carré est en général plus proche de sigma2 au carré que sigma1 au carré.
Cela permet d'avoir une idée de l'erreur faite en remplaçant sigma par sigma1 et d'éviter des questions du type : les résultats sont tombés à $10^{-2}$ près alors que l'erreur de méthode ainsi calculée montre que l'on ne peut obtenir qu'une approximation de l'ordre de l'unité. - La régression linéaire.
On considère $n$ observations bigarrées $(x,y)$.
Dans de nombreux cas, on a entre $y$ et $x$ une liaison qui peut être représentée par une relation affine aux fluctuations près.
On pose alors $yi = a xi + b +ei$ où $a$ et $b$ sont deux coefficients à déterminer.
La méthode des moindres carrés consiste à déterminer $a$ et $b$ tels que $\sum$ ei soit minimum. $x$ est appelé variable explicative et $y$ une variable à expliquer.
Cette méthode est liée la description euclidienne des données.
Si dans l'espace euclidien à $n$ dimensions $E_n$ $y$ et $x$ sont les vecteurs de coordonnées respectives $(y1,y2,\cdots,yn)$, $(y1,y2,\cdots,yn)$,$\bar{x}$ et $\bar{y}$ les vecteurs ayant toutes leurs coordonnées égales respectivement à la moyenne de $y$ et à la moyenne de $x$ le vecteur $a(x - \bar{x})$ est la projection orthogonale de $(y - \bar{y})$ sur $(x - \bar{x})$.
Le vecteur $e$ de coordonnées $(e1,e2,\cdots ,en)$ est donc orthogonal à $(x - \bar{x})$.
Si l'on pose $xi = \alpha yi + \beta + \eta i$, $y$ devient la variable explicative et $x$ la variable à expliquer. La même méthode consiste à déterminer $\alpha$ et $\beta$ tels que $\eta$ soit minimum.
Les deux droites représentatives sont évidemment distinctes et elles secouent en $G$ point moyen de coordonnées $(\bar{x},\bar{y})$.
Dans $E$, on projette alors orthogonalement $(x - \bar{x})$ sur
$(y - \bar{y})$.
Il est donc absurde de faire déterminer dans une première question l'équation de la droite des moindres carrés où $y$ est la variable à expliquer puis à faire prévoir $x$ quand $y$ prend une valeur donnée. Il fallait alors faire la régression de $x$ en $y$ et non celle de $y$ en $x$.
Il doit y avoir une cohérence entre le modèle et son utilisation.
La détermination de $a$ et $b$ (ou de $\alpha$ et $\beta$) nécessitait avant l'usage des calculatrices des calculs longs et pénibles.
Aussi avait-on cherché des méthodes empiriques donnant un ajustement affine approximatif dans les ça où
$\sum \varepsilon_i^2<<\sum(y_i - \bar{y})^2$
L'une des plus célèbres est la Méthode de MAYER :
On coupe le nuage des $n$ points dans $E_2$
(le point $M_i$ a pour coordonnées $(x_i,y_i)$ en deux ou trois sous-nuages).
Par exemple, celui qui correspond à des abscisses inférieures à $t_1$ , celui qui correspond à des abscisses supérieures à $t_2$, les deux sous-nuages étant de même effectif.
Si $G1$ et $G2$ sont les points moyens de ces deux sous-nuages, la droite représentative de la relation affine est la parallèle à $(G1G2)$ passant par $G$ voire $(G1G2)$.
cette méthode plaît à des professeurs de mathématiques car elle fait faire des calculs de moyenne mais elle ne repose sur aucune modélisation.
Elle est donc à proscrire, les calculatrices effectuant les calculs sans difficulté.
A la limite, autant faire ajuster à l'oeil une droite sur une représentions graphique de nuage.
Le coefficient de corrélation $\rho$ représente le cosinus de l'angle des vecteurs $(y - \bar{y},x - \bar{x})$ dans $E_n$, il est donc caractéristique de la qualité de la représentation.
Dans trop de sujets, $\rho > 0,98$ ce qui dans beaucoup des cas dits concrets est trop beau pour être vrai. Ce sont des données artificielles qu'il vaut mieux éviter.
- Le regroupement en classe des données.
- Statistique inductive
- Modèle probabiliste et statistique.
Dans les BTS industriels, la statistique inductive est une partie importante du programme.
Elle trouve son application en contrôle de fabrication et en fiabilité. Dans l'industrie, il existe des proc&dures normalisées dont la description est faite dans les publications de l'AFNOR(normes ISO ou normes AFNOR).
Pour les mettre en oeuvre nul besoin de comprendre la statistique inductive, il suffit d'exécuter les instructions d'un algorithme.
Trop souvent les sujets sont du type "faites comme on vous appris de faire" et négligent la partie "comprendre", la plus intéressante.
Rappellons que la situation concrète est caractérisée par un modèle probabiliste dont certains paramètres sont inconnus.
L'observation faite est considérée comme une réalisation de la situation concrète aléatoire modélisée.
L'objet de la statistique est de dire des choses sur les paramètres inconnus du modèle donc de les mesurer au sens large du terme.
Il est donc absurde de demander aux élèves de mettre en oeuvre une procédure sans spécifier le modèle pour lequel elle est adéquate.
Au niveau du BTS, sauf en maintenance, les seuls modèles considérés sont $n$ tirages indépendants dans une urne à deux catégories ou $n$ répétitions indépendantes d'une variable gaullienne de moyenne et/ou de variance inconnue.
La crédibilité du modèle dépend des conditions expérimentales. Il importe donc de rappeler le modèle, ou bien au moins en partie, les conditions de l'expérience qui le valident. Cela est vrai en particulier pour l'indépendance des observations.
Il faut aussi être rigoureux au niveau du langage; 3,5 n'est pas une variable aléatoire et si $\mu$ est le paramètre inconnu, écrire $Pr(\mu < 3,5)$ n'a pas de sens: 3,5 est la réalisation d'une variable aléatoire suivant par exemple une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type 1.
Il ne faut pas confondre une variable aléatoire et sa réalisation. Une fois la réalisation faite, il n'y a plus de probabilité, le modèle probabiliste est dans l'action. - Les procédures statistiques
Les deux seules procédures statistiques enseignées sont l'estimation et le test.
Pour l'estimation on distingue l'estimation ponctuelle et l'estimation par intervalle.
L'estimation ponctuelle ne pose pas problème ; en revanche l'estimation par intervalle est l'occasion de nombreuses fautes. Souvent on confond confiance et probabilité.
L'intervalle de confiance avant résultat expérimental est aléatoire.
On cherche deux variables aléatoires L et L' telles que si $\mu$ est le paramètre à estimer on ait $P_{\mu}(\mu \in [L,U])=1 - \alpha$ où $\alpha$ est fixé.
En général, $\alpha =$0,05 et $\mu$ est inconnu mais fixé, $P_{\mu}$ est la loi qui régit le phénomène.
On a un constat expérimental que l'on note $\omega$ , $L(\omega)$ et $U(\omega)$ sont les réalisations de L et de U.
On dit que $L(\omega) < \mu < U(\omega)$ avec la confiance $1 - \alpha$ pour rappeler que la procédure utilisée est telle que l'intervalle aléatoire dont $[L(\omega) , U(\omega)]$ est une réalisation, avait une probabilité $1 - \alpha$ de recouvrir la valeur $\mu$ inconnue.
Il faut bien distinguer confiance et probabilité.
De même pour les tests.
On choisit arbitrairement une hypothèse nulle.
On détermine dans l'ensemble des observations une zone de probabilité supérieure à $1 - alpha$ si l'hypothèse nulle est vraie et de probabilité la plus petite possible lorsqu'elle est fausse.
Si l'issue observée est dans cette zone, cela ne veut pas dire que l'hypothèse nulle est vraie, cela veut dire qu'avec cette hypothèse l'issue observée est vraisemblable au niveau $1 - \alpha$ et qu'il n'est pas utile de changer l'hypothèse, celle-ci ayant été choisie en fonction de sa commodité.
Il est indispensable dans un test de préciser l'hypothèse nulle, l'alternative(souvent la négation de la prmeière) et le seuil choisi et d'employer un vocabulaire précis :
"Est-ce que $\mu = \mu_0$ n'a pas le même sens que "Tester l'hypothèse $\mu =\mu_0$".
Dans une procédure statistique, seule la deuxième formulation a un sens.
Dans le but de ne pas surcharger les programmes, la notion de paramètre nuisible n'est pas abordée.
Par contre, elle apparaît dans les problèmes lors de la situation suivante :
$X_1,X_2,\cdots,X_n$ sont $n$ variables aléatoires indépendantes de même loi, la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, tous deux inconnus mais l'inférence porte sur $\mu$.
$\sigma$ est appelé paramètre nuisible.
On introduit la moyenne $\bar{X} = \dfrac{1}{n} \sum X_i$ et la variance $S^2 = \dfrac{1}{n - 1} \sum (X_i - \bar{X})^2$ de l'échantillon.
On montre que $\bar{X}$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
$\dfrac{S^2}{\sigma^2}$ suit une loi dite du khi-deux à $n - 1$ degrés de liberté.
Pour trouver un intervalle de confiance pour $\mu$ ou pour exécuter un test dont l'hypothèse nulle est par exemple $\mu =\mu_0$, on besoin de la quantité $\dfrac{\overline{X}- \mu}{S}$ dont la loi de probabilité est connue : c'est la loi de Student à $n - 1$ degrés de liberté indépendante de $\mu$ et de $\sigma$.
Cela permet d'exécuter la procédure sans se préoccuper de $\sigma$ inconnu et nuisible.
Mais la loi de Student n'est pas u programme. La procédure enseignée aux élèves est de faire connue si $\dfrac{\overline{X}- \mu}{s}$ suivait une loi normale de moyenne 0 et d'écart-type 1 où $s$ est la réalisation de $S$ par les observations faites.
Pour être exact, il importe dans l'énoncé de signaler que l'on a fait cette approximation qui n'est valide que si $n \geq 20$.
Là aussi, on observe trop souvent que les observations numériques figurant dans les énoncés sont telles que que par exemple $\overline{X}$ et le $\mu$ supposé sont très près l'un de l'autre.
Là encore, cela sent les exemples fabriqués, c'est trop beau pour être vrai.
- Modèle probabiliste et statistique.