Programmes Scratch Dnb

  • Dnb 2018
    • Pondichery
      Sujet : Approximation de $\pi$ par la Méthode de Monte-Carlo
      On lance une fléchette sur une plaque carrée sur laquelle figure une cible circulaire .
      Si la pointe de la fléchette est sur le bord de la cible, on considère que la cible n'est pas atteinte.
      On considère que cette expérience est aléatoire et l'on s'intèresse à la probabilité que la fléchette atteigne la cible.
      - La longueur du côté de la plaque carrée est 200.
      - Le rayon de la cible est 100.
      - La fléchette est représentée par le point F de coordonnées $(x~;~y)$ où $x$ et $y$ sont des nombres
      aléatoires compris entre $-100$ et $100$.
      On réalise un programme qui simule plusieurs fois le lancer de cette fléchette sur la plaque carrée et qui compte le nombre de lancers atteignant la cible. Le programmeur a créé trois variables nommées carré de OF, distance et score.

       1°) Lorsqu'on exécute ce programme, combien de lancers sont simulés ?
      2°) Quel est le rôle de la variable score ?
      3°) Compléter ce programme afin qu'il fonctionne correctement.
      4°) Après une exécution du programme, la variable score est égale à $102$.
            A quelle fréquence la cible a-t-elle été atteinte dans cette simulation  ?
            Exprimer le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
      5°) On admet que la probabilité d'atteindre la cible est égale au quotient :
      aire de la cible divisée par aire de la plaque carrée.

      6°) Quelle est la limite de cette fréquence lorsque le nombre de lancers devient très grand ?
      En déduire une approximation de $\pi$.

      Corrigé

       1°) Lorsqu'on exécute ce programme, $120$ lancers sont simulés.
      2°) La variable score à la fin du programme contient le nombre de fois où la fléchette a atteint la cible.
      3°)On compléte ce programme afin qu'il fonctionne correctement.
      4°) Si après une exécution du programme, la variable score est égale à $102$.
            Alors la  fréquence à laquelle la cible a été atteinte est $f =\frac{102}{120} \approx 0,85$
      5°) La  probabilité $p$ d'atteindre la cible est
      $p = \dfrac{\pi \times Rayon^2}{cote^2} = \dfrac{\pi \times 100 \times 100}{200 \times 200} = \dfrac{\pi}{4} \approx 0,785$.

      6°) La limite de cette fréquence lorsque le nombre de lancers devient très grand  est donc $\dfrac{\pi}{4}$.
      De la simulation avec $1 000 000 $ lancers, on en  déduit une approximation de $\pi$.
      $\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{777113}{1000000} \approx 0,777113$ donc $\pi \approx 3,108452$

    • Amérique du Nord
      Sujet
      Simon travaille sur un programme. Voici des copies de son écran :

       Il obtient le dessin ci-dessous :
      1°) a) D'après le script principal, quelle est la longueur du côté du plus petit carré dessiné ?
             b) D'après le script principal, quelle est la longueur du côté du plus grand carré dessiné ?
      2°) Dans le script principal, où peut-on insérer l'instructionde façon à obtenir le dessin ci-contre ?
      3°) On modifie maintenant le script principal pour obtenir celui qui est présenté ci-dessous :
      Parmi les dessins ci-dessous, lequel obtient-on ?

      Corrigé :

      1°) a) D'après le script principal, la longueur du côté du plus petit carré dessiné est $40$ car à l'entrée de la boucle la valeur de la variable côté est : $40$
             b) D'après le script principal,  la longueur du côté du plus grand carré dessiné est $100$
      En effet,
      - Au premier tour de boucle, la variable côté contient $40$ , le carré est dessiné et à la fin de
      ce tour on ajoute $20$ à la variable côté.
      - Au deuxième tour, la variable côté contient $60$ , le deuxième carré est dessiné et à la fin de ce
      tour on ajoute $20$ à la variable côté.
      - Au troisième tour,la variable côté contient $80$ , le troisième carré est dessiné et à la fin de ce
      tour on ajoute $20$ àla variable côté.
      - Enfin, au dernier tour la variable côté contient $100$, le quatrième carré est dessiné.

      2°) Dans le script principal, on insére l'instruction

      après l'instruction ajouter à côté $20$ de façon à obtenir le dessin ci-contre :
      3°)Après la  modification du script principal, le dessin obtenu est le dessin $3$.
      En effet,
      - Au premier tour de boucle, la variable côté contient $40$ , le carré est dessiné et à la fin de
      ce tour on ajoute $20$ à la variable côté. Le stylo est alors relevé et on avance de $40 + 30$.
      - Au deuxième tour, la variable côté contient $60$ , le deuxième carré est dessiné et à la fin de ce
      tour on ajoute $20$ à la variable côté. Le stylo est alors relevé et on avance de $60 + 30$
      - Au troisième tour,la variable côté contient $80$ , le troisième carré est dessiné et à la fin de ce
      tour on ajoute $20$ àla variable côté. Le stylo est alors relevé et on avance de $80 + 30$
      - Enfin, au dernier tour la variable côté contient $100$, le quatrième carré est dessiné.

  • Dnb 2017