Activité 1
Soit un repère orthonormé de centre $O$.
Soit $A$ le point de coordonnées $(1 ; 0)$ et $B$ le point de coordonnées $(0 ; 1)$.
Soit un point $M$ distinct de $O$ et situé sur l’axe des abscisses.
On notera $x$ la mesure algébrique du bipoint $(O ; M)$.
La droite parallèle à $(MB)$ passant par $A$ coupe l’axe des ordonnées en $N$.
1°) Quelles sont les coordonnées de $N$ ? Justifier.
2°) En utilisant le logiciel Cabri-Géomètre
a) Construire la figure précédente.
b) Construire $M’$ le point d’intersection de la perpendiculaire en $M$ à l’axe des abscisses et de la perpendiculaire en $N$ à l’axe des ordonnées.
c) Construire le lieu géométrique de $M’$ lorsque $M$ décrit l’axe des abscisses.
3°) Observez la courbe ainsi obtenue qui a donc pour équation $y = \dfrac{1}{x}$
a) Que peut-on conjecturer sur la parité de $f$ ? Justifier.
b) Démontrer que si $x > 0$ et $x’> 0$ et $x < x’$ alors $\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{x'}$
c) Déduire du a) et du b) le tableau de variations de $f$ sur $R^*$.
d) Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $\dfrac{1}{x} > 10^2$ ? $\dfrac{1}{x} > 10^{10}$ ?
e) Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $\dfrac{1}{x} > 10^{-3}$ ? $\dfrac{1}{x} > 10^{-12}$ ?
Activité 2
1°) Compléter le tableau suivant :
|
$x$ |
$0.25$ | $ \dfrac{1}{3}$ | $0.5$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| $\dfrac{1}{x}$ |
2°) Placer les points de coordonnées $( x ; \dfrac{1}{x} )$ du tableau précédent dans un repère orthogonal.
3°) Relier ces points à main levée.
En déduire le tracé complet de la courbe d’équation $y = \dfrac{1}{x}$
Résumé de cours
Soit $f$ définie sur $R^*$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$
Elle admet le tableau de variations suivant :
La courbe d’équation $y = \dfrac{1}{x}$ s’appelle une hyperbole admettant $O$ comme centre de symétrie.
Les inverses de 2 nombres positifs sont rangés dans l’ordre inverse de celui de ces nombres.
Auteurs : Christian CYRILLE (Lycée Schoelcher) et Patrick JEAN-BAPTISTE(Lycée Schoelcher)