Didactique


Pédagogie et Didactique des Mathématiques

  • Il ne faut pas confondre pédagogie et didactique :
    - La pédagogie est l'art d'enseigner.
    - "La didactique étudie les conditions et les processus de diffusion et d'apprentissage des mathématiques.
    Elle s'est beaucoup développée depuis les années 1970 dans le cadre des sciences mathématiques.    "
    Guy BROUSSEAU
    - "La didactique des mathématiques est une discipline scientifique qui a pour ambition d'explorer les relations entre l'enseignement d'un contenu mathématique donné et son apprentissage par les élèves."
    Aline ROBERT dans Entretien avec une didacticienne - Amep Plot n° 21  - 1er trimestre 2008
    - "Un des objectifs de la didactique des mathématiques est de proposer des outils d'analyse aux enseignants en leur permettant d'une part de comprendre les difficultés que rencontrent leurs élèves et d'autre part de leur donner des critères pour l'évaluation des apprentissages et des pistes de remédiation.
    Une des hypothèses de la didactique est que l'élève aborde une concept mathématique en s'appuyant sur ses propres représentations, qu'il doit adapter et remettre en question.
    Ces concepts ne se construisent pas seulement à partir de leurs définitions et de propriétés mais aussi par l'exploration de ces dernières dans les situations qui les utilisent.
    Leur sens est alors lié aux types de problèmes où on les a rencontré.
    La résolution de problèmes est un moyen privilégié pour réaliser cette exploration...    "
    Denise GRENIER - Article "Analyser les erreurs des élèves - Tangente Education n° 41 de septembre 2017.
  • Déroulement d'un cours :
    Tout est basé sur la résolution de problèmes.
    Faire des Mathématiques, c'est résoudre des problèmes.
    Questions à poser aux élèves après une leçon :
    - Qu'est ce qui était demandé ?
    - Pensez-vous avoir réussi ?
    - Qu'avez-vous appris ?
    - Que doit-on retenir ?
    - Que doit-on revoir ?
  • Types d'exercices
    - Problème de recherche :
    Il s'agit d'un problème dont la résolution vise à la construction d'une nouvelle connaissance. Ce problème est "consistant" c'est-à-dire qu'il présente une certaine résistance.
    Il ne donne pas lieu à une réponse qui résulte d'un traitement immédiatement reconnu.
    Donner un problème de recherche c'est lancer aux élèves un défi qu'ils doivent faire leur et avoir envie de le relever.La validation de la solution est laissée le plus que possible à la charge des élèves.
    Exemple :
    2 villes $A$ et $B$ sont situées d'un même côté d'une rivière rectiligne. Un camion qui n'est pas en bon état doit aller de $A$ à $B$ en passant par un point $M$ situé sur la rivière afin de remplir une fois son radiateur.
    Où placer $M$ pour que le trajet $AM + MB$ soit le plus petit possible ?
    - Problème ouvert :
    - Exercice d'application immédiate :
    - Exercice d'approfondissement : 

Objectifs formation mathématique au Lycée
Inspection générale (5 décembre 2013)

La formation mathématique au lycée général et technologique vise 2 objectifs :

  • L'acquisition de connaissances et de méthodes nécessaires à chaque élève pour construire son avenir personnel, professionnel et citoyen et préparer la poursuite d'étude supérieures.
  • Le développement de compétences transversales(autonomie, prise d'initiative, adaptabilité, créativité, rigueur, ..) et de compétences spécifiques aux mathématiques explicitées ci-dessous :
    Compétences

    • Chercher
      • Analyser un problème
      • Extraire, organiser et traiter l'information utile.
      • Observer, s'engager dans une démarche, expérimenter en utilisant éventuellement des outils logiciels, chercher des exemples ou des contre-exemples, simplifier ou particulariser une situation, reformuler un problème, émettre une conjecture.
      • Valider, corriger une démarche ou en adopter une nouvelle.
    • Modéliser
      • Traduire en langage mathématique une situation réelle(à l'aide d'équations, de suites, de fonctions, de configurations géométriques, de graphes, de lois de probabilités, d'outils statistiques,...)
      • Utiliser, comprendre, élaborer une simulation numérique ou géométrique prenant appui sur la modélisation et utilisant un logiciel.
      • Valider ou invalider un modèle.
    • Représenter
      • Choisir un cadre(numérique, algébrique, géométrique, ...) adapté pour traiter un problème ou pour représenter un modèle mathématique.
      • Passer d'un mode de représentation à un autre.
      • Changer de registre.
    • Calculer
      • Effectuer un calcul automatisable à la main ou à l'aide d'un instrument (calculatrice, logiciel).
      • Mettre en oeuvre des algorithmes simples.
      • Exercer l'intelligence du calcul : organiser les différentes étapes d'un calcul complexe, choisir des transformations, effectuer des simplifications.
      • Contrôler les calculs (au moyen d'ordres de grandeur, de considérations de signe ou d'encadrement).
    • Raisonner
      • Utiliser les notions de la logique élémentaire (conditions nécessaires ou suffisantes, équivalences, connecteurs) pour bâtir un raisonnement.
      • Différencier le statut des énoncés mis en jeu : définition, propriété, théorème démontré, théorème admis, ...
      • Utiliser différents types de raisonnement (par analyse-synthèse, par équivalence, par disjonction de cas, par l'absurde, par contraposée, par récurrence,...)
      • effectuer des inférences(inductives, déductives) pour obtenir de nouveaux résultas, conduire une démonstration, confirmer ou infirmer une conjecture, prendre une décision.
    • Communiquer
      • Opérer la conversion entre le langage naturel et le langage symbolique formel.
      • Développer une argumentation mathématique correcte à l'écrit ou à l'oral.
      • Critiquer une démarche ou un résultat.
      • S'exprimer avec clarté et précision à l'oral et à l'écrit.

        Cadre de mise en oeuvre de ces compétences
        La résolution de problèmes est un cadre privilégié pour développer, mobiliser et combiner plusieurs de ces compétences.
        Cependant, pour prendre des initiatives, imaginer des pistes de solution et s'y engager sans s'égarer, l'élève doit disposer d'automatismes. En effet, ceux-ci facilitent le travail intellectuel en libérant l'esprit des soucis de mise en oeuvre technique et élargissent le champ des démarches susceptibles
        L'installation de ces réflexes nécessite la mise en oeuvre directe, sur des exercices aux objectifs circonscrits , de procédures de base liées à chacune de ces compétences. Il n'y a pas d'ordre chronologique imposé entre l'entrainement sur des exercices et la résolution de problèmes.
        Cette dernière peut en effet révéler le besoin de s'exercer sur des tâches simples, d'ordre procédural, et motiver ainsi la nécessité de s'y engager.
        Les commissions d'élaboration de sujets peuvent se référer à ces compétences afin que les exercices et les questions proposé les mobilisent de façon équilibrée et permettent de les observer.