Algèbres

  • Algèbre sur un anneau commutatif :
    Soit $(A,+,\times)$ un anneau commutatif.
    On dit que $(E,+,\times,.)$ est une $A$-algèbre lorsque :

    • $+$ et $\times$ sont internes dans $E$
    • $.$ est une opération externe de $A \times E$ dans  $E$
    • $(E,+,.)$ est un $A$-module c'est-à-dire :
      • $(E,+)$ est un groupe commutatif
      • et la loi externe $.$ vérifie 4 propriétés :
        • $P_1 : \forall a \in A \quad \forall u \in E \quad \forall v \in E a.(u + v) = a.u + a .v$
        • $P_2 :\forall a \in A \quad \forall b \in A \quad \forall u \in E \quad (a + b).u = a.u + b.u$
        • $P_3 :\forall a \in A \quad \forall b \in A \quad \forall u \in E \quad a.(b.u) =(a \times b).u$
        • $P_4 :\forall u \in E \quad 1_A . u = u$
    • $\times$ est bilinéaire c'est-à-dire que
      • $\forall u \in E \quad \forall v \in E \quad \forall w \in E  \quad (u + v) \times w = u \times w + v \times w$
      • $\forall u \in E \quad \forall v \in E \quad \forall w \in E  \quad  u \times (v + w) = u \times v + u \times w$
    • Lorsque $\times$ est associative, l'algèbre est dite associative.
    • Lorsque $\times$ admet un élément neutre l'algèbre est dite unifère.
  • Algèbre sur un corps
    Lorsque $A$ est un corps commutatif $K$ alors $(E,+ , .)$ est un $K$-espace vectoriel.
  • Morphisme d'algèbres
    si $E$ et $F$ sont des $A-$ algèbres, on dit que l'application $f$ de $E$ dans $F$ est un morphisme d'algèbres lorsque $f$ est un morphisme pour chacune des lois internes et aussi pour la loi externe c'est-à-dire :

    • $\forall u \in E \quad \forall v \in E \qquad f(u + v) = f(u) + f(v)$
    • $\forall u \in E \quad \forall v \in E \qquad f(u \times v) = f(u) \times f(v)$
    • $\forall a \in A \quad \forall u \in E \qquad f(a.u) =a.f(u)$
  • Exemples d'algèbres
    • Tout corps commutatif $K$ est une algèbre sur lui-même.
    • Le corps $(C,+,\times,\times)$ est une $R$-algèbre associative,  unifère et commutative de dimension $2$.
    • L'ensemble des applications de $R$ dans $R$ noté $\mathcal{F}(R,R)$ muni des opérations $f + g, fg, g \circ f$ est une $R$-algèbre.
    • L'ensemble des polynômes de variable $X$ à coefficients réels  noté $\mathcal{P}(R,R)$ muni des opérations $A + B, AB, \lambda A$ est une $R$-algèbre.
    • Tout corps fini est une algèbre associative, unifère et commutative de dimension $n$ sur son sous-corps premier $F_p =\dfrac{Z}{p \ Z}$ donc son ordre est $p^n$.