Concours CRPE

De nouvelles épreuves pour le Concours de Professeurs des Ecoles
Note de commentaire pour l'épreuve d'admissibilité des mathématiques :nc_crpe_260593
Sujets
Je vous propose des corrigé sur les parties 1 et 2 de certains sujets.

  • Sujet zéro proposé par le ministère en 2014 : sujetzero
  • 2018 :
    • Groupement académique 1
    • Groupement académique 2
      • Sujet : crpe18ga2
      • Corrigé personnel (parties 1 et 2) :
    • Groupement académique 3
  • 2017 :
  • 2016 :
    • Groupement académique 1 :
      • Sujet :sujetcrpe16ga1
      • Corrigé personnel :
        • partie 2
          • ex 3 :Probabilités, résolution équation et inéquation à une inconnue, utilisation d'un tableur:  crpega1p2ex3
    • Groupement académique 2 :
    • Groupement académique 3 :
      • Sujet : sujetcrpe16ga3
      • Corrigé personnel :
        • Partie 1 :
        • Partie 2
          • Exercice 1 - Résolution d'un problème utilisant les unités de mesure suivantes et les relations qui les lient : Longueur (m, km, cm, mm) et Temps (l'heure, la minute, la seconde, le mois, l'année) ainsi que les puissances de 10.
            1°) La vitesse de la lumière est $c = 3 \times 10^8 m/s = 3 \times 10^5 km/s$ car $1 km = 1000 m$.
            Or $1 UA = 150 \ 000 \ 000 km = 15 \times 10^7 km$
            Par conséquent, 1 UA est parcourue dans le temps suivant $t = \frac{15 \times 10^7}{3 \times 10^5} = 5 \times 10^2 = 500 s$. Or dans une heure, il y a 60" . Comme $\frac{500}{60}  \approx 8,33$ donc 500" représente 8 x 60' + 20' à savoir 8h20'
            2°)Comme dans un jour il y a 24 h et que dans 1H ils a 60' et que dans 1' il y'a 60" alors
            $1 AL = 365,25 \times 24 \times 60 \times 60 \times 3 \times 10^5 km$.
            Par conséquent, $ 1 AL = 94 \ 672 \ 800 km $
            3°) a) Neptune est située à $d = \frac{4,5 \times 10^9} {15 \times 10^7} = \frac{45 \times 10^8} {15 \times 10^7} = 3 \times 10 = 30 UA$
            b) Si 30 UA sont représentées par 1 m alors 1  UA est représentée par $\frac{1}{30} m \approx 0,033 m = 33 mm $
          •  Exercice 2 :résolution système d'équations à 2 inconnues - dénombrement - équation de droite  - pgcd -algorithmique - résolution d'équations du second degré.
            1°) Une bouteille d'eau pleine a une masse de 1215g. a moitié vide elle a une masse de 840g.
            L'affirmation suivante : "cette bouteille vide pèse alors 465 g" est vraie
            car si l'on appelle $x$ la masse de la bouteille et $y$ la masse de l'eau ces 2 inconnues $x$ et $y$ vérifient le système suivant
            $ \left\{ \begin{array}{ll } x + y = 1215 \\ x + \frac{y}{2} = 840 \end{array} \right. $
            En retranchant la ligne 1 de la ligne 2, on obtient $\frac{y}{2} = 375$ donc $y = 750$ d'où$x = 1215 - 750 = 465$
            2°)L'affirmation 2 " 12 élèves de cette classe ne sont pas partis en vacances à la montagne (ni l'hiver, ni l'été) " est vraie.
            Méthode 1 :
            On peut trouver la réponse avec un diagramme de Venn

            ou avec un résultat de dénombrement sur les cardinaux (un cardinal est le nombre d'éléments d'un ensemble fini).
            Si l'on note C l'ensemble d'élèves, H l'ensemble d'élèves ayant été en vacances d'hiver et E l'ensemble d'élèves ayant été en vacance d'été, on a donc
            $Card(H \cup E) = Card(H) + Card(E) - Card(H \cap E) = 10 + 8 - 5 = 13$ donc
            le nombre d'élèves n'étant partis ni en vacances d'hiver, ni en vacances d'été est :
            $Card(C) - Card(H \cup E) = 25 - 13 = 12$
            Méthode 2 :
            Raisonnement verbal en partant du maillon faible les 5 qui vont en hiver et en été.
            En effet, comme 5 ont été en hiver et en été , ces 5 élèves font partie des 10 qui ont été en hiver et aussi des 8 qui ont été en été.
            En conclusion,
            en hiver 10 = ces 5 + 5 autres qui n’y vont pas en été
            en été  8 = ces 5 + 3 autres qui n’y vont pas en hiver.
            Donc en hiver seulement : 5 ; en été seulement  3 ; en hiver et en été : 5.
            Au total 5 + 3 + 5 = 13
            25 - 13 = 12 qui ne vont ni en hiver ni en été.
            3°) L'affirmation 3 " La droite représente la fonction affine $f : x \mapsto - 3x +1$ " est fausse.
            Par une méthode graphique : l'ordonnée à l'origine est $b = 1$ mais la pente de cette droite est $a = 3$ car lorsque l'on part d'un point de cette courbe par exemple A(0;1°$ et que l'on avance sur le quadrillage horizontalement d'une unité , pour retrouver verticalement un point de cette droite, on monte de 3 unités donc la pente est $a = 3$ donc la droite a pour équation $y = 3 x + 1$
            Autre méthode graphique : la droite $(D)$ représente une fonction affine croissante car sa pente est positive donc elle ne peut être -3.
            Méthode algébrique : si $(D)$ représente $f : x \mapsto - 3x +1$ " alors tous les points de cette droite devraient vérifier l'équation $y = -3x +1* . Or $B(1,4)$ ne vérifie pas $3 = -3(1) + 1$
            4°) L'affirmation "PGCD(2016;6102) = 2" est  fausse
            car 6 est un diviseur commun à 2016 et 6102 puisque $2016 = 6 \times 336$ et $6102 = 6 \times 1017$
        • Exercice 3 : algorithmique - résolution d'équations simples du second degré.
          1°) a)  choisir un nombre quelconque a : 2
          le multiplier par 4 : $2 \times 4 = 8$
          ajouter 7 à ce produit : $8 + 7 = 15$
          mettre le tout au carré : $15 \times 15 = 225$
          écrire le résultat : 225
          b)  choisir un nombre quelconque a : $\frac{1}{2}$
          le multiplier par 4 : $\frac{1}{2} \times 4 = 2$
          ajouter 7 à ce produit : $2 + 7 = 9$
          mettre le tout au carré : $9 \times 9 = 81$
          écrire le résultat : 81
          2°) choisir un nombre quelconque a
          le multiplier par 4 : 4a
          ajouter 7 à ce produit : 4a + 7
          mettre le tout au carré : $(4a + 7)^2 = (4a)^2 + 2(4a)(7) + 7^2 = 16a^2 +56a + 49$
          écrire le résultat : $16a^2 +56a + 49$
          3°) a) Il faut donc résoudre l'équation  $16a^2 +56a + 49 = 0$ d'inconnue $a$
          $16a^2 +56a + 49 = 0 \iff (4a + 7)^2 = 0 \iff 4a + 7 = 0 \iff 4a = -7 \iff a =\frac{-7}{4}$
          b) Il faut donc résoudre l'équation  $16a^2 +56a + 49 = 49$ d'inconnue $a$
          $16a^2 +56a + 49 = 49 \iff (16 a^2 + 56a = 0\iff a(16a + 56)= 0 \iff a = 0 \text{ ou } 16 a + 56 = 0 \iff a = 0 \text{ ou } a =\frac{-56}{16} = \frac{-7}{2}$
          c) Il faut donc résoudre l'équation  $16a^2 +56a + 49 = 0$ d'inconnue $a$
          $16a^2 +56a + 49 = -1 \iff (4a + 7)^2  =  -1$ est impossible  à résoudre  car   le carré d'un nombre réel est toujours positif.
    • 2015 :
      • Groupement académique 1 :
        • sujet : sujetcrpe15ga1
        • Corrigé personnel :
          • Partie 2
            • Exercice 1 : Arithmétique : cet exercice nécessite des stratégies particulières ict le raisonnement par disjonction de cas. Il faut revoir les notions de cubes d’entiers, de diviseurs et de multiples. crpega1p2ex1
            • Exercice 3 : Géométrie (Inégalité triangulaire, Thalès, symétrie orthogonale, Pythagore, racine carrée) : crpega1p2ex3
      • Groupement académique 2 :
      • Groupement académique 3 :
    • 2014 :
    • 2000 :
      • Partie 1
        On considère une famille (F) de quadrilatères définie comme suit :Un quadrilatère ABCD appartient à (F)lorsqu'il est convexe et si ses diagonales [AC] et [BD] sont perpendiculaires.
        Question 1
        Pour chacune des affirmations suivantes , dire si elle vraie ou fausse.Argumenter la réponse.
        Affirmation 1 : tous les rectangles appartiennent à (F)
        Affirmation 2 : certains éléments de (F) sont des parallélogrammes.
        Question 2
        On considère un quadrilatère ABCD de (F).        Soient E, F, G et H les milieux respectifs de [AB],[BC],[CD]et [AD].
        1°) Quelle est la nature du quadrilatère EFGH ? Le démontrer
        2°) Quelle est la condition supllémentaire à imposer à ABCD pour que EFGH soit un carré ?
        Le justifier.
        Question 3
        On considère un quadrilatère ABCD de (F) tel que :
        AC = BD = 10 cm ; AB = 6 cm et l'angle ABC est droit.
        1°) a) construire à la règle et au compas le quadrilatère ABCD
        b) Si O est le point d'intersection des diagonales [AC] et [BD], calculer BC puis OB.
        2°) La figure obtenue est le début d'un patron d'un tétraèdre BADC
        dont ABC et ACD représentent deux faces perpendiculaires.
        Si ACD est la base, [OB] est la hauteur du tétraèdre.
        a) Montrer que le triangle BOD est rectangle.
        En utilisant les résultats précédents, déduire une construction, en vraie grandeur,
        de la longueur de l'arête [BD] du tétraèdre BADC.
        b) Terminer le patron avec règle et compas, en laissant apparaître les traces
        justificatives des constructions.
      • Corrigé personnel : Une surface est convexe lorsque quelque soit les points M et N de cette partie, le segment [MN] est contenu dans cette partie.La phrase suivante "Tous les rectangles appartiennent à (F)" est fausse.En effet, un rectangle non carré est un contre-exemple :
        La phrase suivante "Certains éléments de (F) sont des parallélogrammes" est vraie.Il suffit de prendre comme exemple le losange :
        Question 2
        La figure peut être construite en respectant l'ordre suivant:a) construction des deux diagonales perpendiculaires [AC] et [BD]b) construction des segments [AB],[BC],[CD] et [DA]c) construction des milieux E, F, G et Hd) construction des segments [EF],[FG],[GH] et [HE]1°)Il semble que EFGH soit un rectangle. Prouvons le.Démonstration :D'après le théorème des milieux, comme H est le milieu de [AD] et comme E est le milieu de [AB]alors on peut affirmer que (HE) est parallèle à (DB).Par analogie, on peut affirmer que :(GF) est parallèle à (DB)(EF) est parallèle à (AC)(HG) et parallèle à (AC)Comme (HE) est parallèle à (DB)et (GF) est parallèle à (DB) alors par transitivité du parallélisme, (HE) est parallèle à (GF)De même, (EF) est parallèle à (HG)Le quadrilatère EFGH ayant ses côtés opposés parallèles est donc un parallélogramme.Comme (BD) et (AC) sont perpendiculaires et comme (HE) et (EF)sont parallèles respectivement à (BD) et (AC), alors les droites (HE) et (EF) sont perpendiculaires.Le parallélogramme HEFG a un angle droit en E donc c'est un rectangle.2°)Pour que EFGH soit un carré, il suffit que les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD aient même longueur.Démonstration :Une conséquence du théorème des milieux applicable au triangle ABD permet d'affirmer que
        $HE = \frac{BD}{2}$De même, dans le triangle ABC, on peut affirmer que $EF = \frac{AC}{2}$Si AC = DB alors $\frac{AC}{2} = \frac{DB}{2}$ donc HE = EF .Le rectangle HEFG ayant 2 côtés consécutifs égaux c'est un carré.Remarque : cet exercice est un cas particulier du théorème de VARIGNON.
        Question 31°)
        a) Construction à la règle et au compas        On construit un cercle $(C_1)$ de centre A et de rayon 10 cm.On construit un cercle $(C_2)$ de centre A et de rayon 6 cm.On choisit un point C sur $(C_1)$On construit I le milieu de [AC].On construit le cercle $(C_3)$ de centre I passant par A et C.Alors tout triangle inscrit dans l'un des demi-cercle de $(C_3)$ est rectangle.On prend alors B comme point d'intersection de $(C_2)$ et de $(C_3)$.Le triangle ABC est alors rectangle en BAvec le compas on construit 2 points M et N de la droite (AC) tels que BM = BN.

        Alors B est sur la médiatrice de [MN] qu'on peut construire en tracant au compas un point P tel que MP = NP

        La droite (BP) est alors perpendiculaire à (AC)

        On construit un cercle $(C_4)$ de centre B et de rayon 10 cm

        Le point D est alors situé à l'intersection de $(C_4)$ et de la droite (BP).

        1°) b)

        Démonstration

        D'après le Théorème de Pythagore, comme le triangle ABC est rectangle en B, on peut affirmer que $AC^2 = AB^2 + BC^2$

        Par suite $BC^2 = AC^2 - AB^2 = 100 - 36 = 64$ donc BC = 8.

        Le triangle AOB est rectangle en O.

        Dans le triangle rectangle ABC, $sin(A) = \frac{BC}{AC}$

        Dans le triangle rectangle AOB , $sin(A) = \frac{OB}{AB}$

        Donc $\frac{OB}{AB} =  \frac{BC}{AC}$ donc $OB = \frac{BC \ \times \ AB}{AC} = \frac{8 \ \times  \ 6 }{10} = 4,8$

        2°) a)


        La droite (BO) est perpendiculaire au plan (ACD) en O donc est perpendiculaire à toute droite de ce plan pasant par O.

        Donc (BO) est perpendiculaire à (OD).

        Par conséquent, le triangle BOD est rectangle en O.

      • Partie 2
        Exercice proposé en début d'année à des élèves de CE1 comme évaluation diagnostique pour comparer des masses.Observe le dessin et range ces enfants du plus léger au plus lourd.Questions : 1°) Quelles sont les compétences essentielles requises pour résoudre ce problème ?- Connaître les termes "lourd", "léger".- Ranger des objets par ordre croissant en évaluant leur poids approximatif à la balance à plateaux.- Observer des dessins pour en tirer une information.- Analyser un problème de recherche simple.- Exposer clairement les résultats.Cette évaluation permet de mobiliser des connaissances déjà acquises,comme par exemple,
        ranger du plus petit au plus grand.
        Les Instructions Officielles parlent de "choisir les données nécessaires à la résolution du problème",
        mais il semblerait dans cette situation qu'il s'agisse plutôt d'organiser des données pour résoudre
        le problème.
        2°) Quelles sont les principales sources d'erreur de cet exercice ?- La représentation de l'élève des notions de lourd et de léger- La complexité de la consigne : "du plus.... au plus".- L'ordre d'apparition des données suscite une ambiguité : le dessin semble être en contradiction
        avec la consigne, car l'enfant présenté en premier est le plus lourd.Le raisonnement débute
        par "Marc est plus lourd que Franck". Cela induit que la deuxième image est traitée par le
        raisonnement "est plus lourd que ...".- La présence des cases : il y a trois cases à remplir et deux dessins à analyser .
        Ceci peut interférer dans le raisonnement de l'enfant. Il aurait peut-être fallu ajouter un autre dessin
        avec Marc et Julie.- La position inversée des balançoires (en symétrie) : en changeant les positions respectives de Julie
        et Franck sur la balançoire (Franck en bas à gauche et Julie en haut à droite), la perception de
        la situation serait plus simple.Dès le cycle 2, il est souhaitable que l'élève rencontre des problèmes non numériques faisant intervenir
        de la logique élémentaire.        Proposer des types d'activités pour les prévenir.- Manipulation des masses avec système de balancier : principe de la balance Roberval.- Activités physiques permettant de faire vivre des situations concrètes .- Situations permettant de mettre en oeuvre une démarche déductive (raisonnement logique).- Toute activité permettant la prise en compte de la transitivité : rangement de 3 nombres (longueurs, prix,taille,...)- Compléter des rangements proposés.- S'exercer à résoudre des jeux de logigrammes force 1.
        3°) Analyser les trois productions d'élèves- Les trois élèves ont exposé leurs résultats.- Les trois élèves ont mené la tâche à son terme.
        Elève ARaisonnement bon, mais la réponse est inversée: il a rangé les dessins du plus lourd au plus léger. On peut supposer qu'il a été induit en erreur par la présentation : l'enfant présenté en premier est le plus lourd.
        Elève BL'enfant a observé chacune des images et les a analysées séparément, sans les mettre en relation les unes avec les autres. Ainsi, la première case répond à l'observation de la première image.La seconde case répond à l'observation de la seconde image. L'enfant a quand même trouvé le plus lourd.
        Elève CA bien placé le plus léger en premier. L'erreur porte sur le classement des deux derniers enfants.
    • 1987 :