Niveau : Classe de Seconde
Objectifs : Démontrer que la somme des distances d’un point $M$ aux trois côtés d’un triangle équilatéral est invariante lorsque $M$ appartient à l’intérieur de ce triangle.
Prérequis : Hauteur, aire d’un triangle, triangle équilatéral, théorème de Pythagore.
Matériel et logiciel : 1 salle de TP avec un ordinateur pour 2 élèves et un logiez d géométrie dynamique(Geogebra , Cabri Géomètre, ...)
DEROULEMENT DE LA SEQUENCE :
Le casse-tête de Ti-Asson de Saint Pierre :
Ti- Asson a gagné au poker chez Bébé Faïs un terrain en forme de triangle équilatéral bordé par 3 routes $[AB], [AC]$ et $[BC]$.
Sa doudou Julia Kabos voudrait qu’il y construise une maison en un point $M$ de telle façon qu’elle soit le moins loin possible des 3 routes bordant le terrain, c’est-à-dire de telle façon que la somme
$MH + MK + ML$ soit minimale.
Activité 1 ( sur machine) :
1°) Dessiner cette situation à l’aide du logiciel Cabri-Géomètre.
2°) Mesurer les segments $[MH], [MK]$ et $[ML]$.
3°) A l’aide de la calculatrice intégrée au logiciel , afficher la valeur de la somme
$MH + MK + ML$.
4°) Chercher à l’aide de la souris la position du point $M$ qui minimise cette somme.
Que constate-on ? Que dire à ti-Asson ? Justifier à l’aide de l’activité 2.
Activité 2 ( sur papier)
Soit $a$ la longueur du côté du triangle équilatéral. Soit $I$ le pied de la hauteur issue de $A$.
On note $h$ la distance $AI$.
1°) Calculer $h$ en fonction de $a$.
2°) Calculer l’aire $S$ du triangle $ABC$ en fonction de $a$.
3°) Soit $S_1$ l’aire du triangle $AMC$, $S_2$ l’aire du triangle $CMB$ et $S_3$ l’aire du triangle $BMA$.
a) Calculer $S_1$ en fonction de $MH$ et de $a$.
b) Calculer $S_2$ en fonction de $MK$ et de $a$.
c) Calculer $S_3$ en fonction de $ML$ et de $a$.
4°) Déduire des deux questions précédentes la valeur de la somme $MH + MK + ML$.
5°) Conclure.
Annexes (figures Cabri)
Minimisation de la somme des distances d'un point aux trois côtés d'un triangle équilatéral
Auteur : Création collective groupe Kabrit'Bwa