"Tout problème mathématique défini doit pouvoir être résolu, soit qu'on en trouve une solution exacte, soit que l'on prouve qu'il est impossible de le résoudre et donc qu'il est impossible de le résoudre et donc que toute tentative dans ce sens soit vouée à l'échec...
Même si les problèmes nous semblent intraitables et si nous nous sentons désemparés, nous n'en avons pas moins la ferme conviction que leur solution doit résulter d'un nombre fini de processus logiques..."
(David HILBERT 1862 Königsberg - 1943 Göttingen)
Wir müssen wissen, wir werden wissen.
Nous devons savoir, nous saurons.
- Un problème se présente sous la forme d'un énoncé qui contient des informations et une ou plusieurs questions.
Il faut combiner ces informations, parfois en faisant un calcul , pour répondre aux questions posées.
Un problème comporte toujours une difficulté qu'il faut résoudre.
- "Un des objectifs de la didactique des mathématiques est de proposer des outils d'analyse aux enseignants en leur permettant d'une part de comprendre les difficultés que rencontrent leurs élèves et d'autre part de leur donner des critères pour l'évaluation des apprentissages et des pistes de remédiation.
Une des hypothèses de la didactique est que l'élève aborde une concept mathématique en s'appuyant sur ses propres représentations, qu'il doit adapter et remettre en question.
Ces concepts ne se construisent pas seulement à partir de leurs définitions et de propriétés mais aussi par l'exploration de ces dernières dans les situations qui les utilisent.
Leur sens est alors lié aux types de problèmes où on les a rencontré.
La résolution de problèmes est un moyen privilégié pour réaliser cette exploration.
Pour résoudre un problème, un élève va mettre en oeuvre ses propres schèmes (propriétés, règles, représentations mentales et langagières) dont certains sont corrects et d'autres erronés.
Sur cette base, il met en oeuvre des règles de fonctionnement - on parle alors de règles-en-acte.
De nombreux travaux didactiques ont montré que très souvent une erreur survient lors de l'application d'une règle-en-acte hors de son domaine de validité c'et-à-dire sur des cas où elle ne marche pas.
Elle donne alors une réponse fausse alors que dans d'autres cas elle a donné des réponses justes.
Certaines de ces règles résistent à tout enseignement et peuvent resurgir longtemps après que le concept est sensé avoir été acquis. Il est donc nécessaire de leur accorder une vraie place en classe."
Extrait d'un article Tangente Education n°41 - septembre 2017
Analyser les erreurs des élèves - Denise GRENIER - Vous pouvez également vous référer aux travaux du mathématicien américain d'origine hongroise Georges POLYA, né à Budapest en Hongrie le 13 décembre 1887 et mort à Palo Alto aux Etats Unis le 7 septembre 1985
"Résoudre les problèmes est un art qui s'apprend , comme on apprend à nager ou à jouer au piano" - La découverte des mathématiques.
- Tome 1 : Les modèles - Georges POLYA -Editions Dunod - 1967
La découverte des mathématiques
- Tome 2 : Une méthode générale - Georges POLYA - Editions Dunod - 1967 - Une situation-problème est un dispositif pédagogique dont le coeur est une tâche "consistante"(les élèves n'ont pas de réponse à priori) dans laquelle les élèves vont pouvoir s'engager et faire des essais-erreurs, dont la procédure la plus efficace met en jeu la connaissance nouvelle visée , et dont les rétroactions du milieu permettent une validation par les élèves.
Bibliographie :- Donner du sens aux Mathématiques - Muriel FENICHEL et Nathalie PFAFF - Editions Bordas - 2004-2005
Tome 1 : Espace et géométrie
Tome 2 : Nombres, opérations et grandeurs - Analyser les erreurs des élèves - Denise GRENIER -
Article Tangente Education n°41 - septembre 2017
- Donner du sens aux Mathématiques - Muriel FENICHEL et Nathalie PFAFF - Editions Bordas - 2004-2005