Lois de composition internes

  • Définition
    Soit $E$ un ensemble. on appelle loi (de composition) interne toute application de $E \times E$ dans $E$ qui à tout couple $(x,y)$ associe l'élément $x \ast y$.
  • Exemples :
    • La somme de deux entiers  relatifs  est un entier  relatif donc l'addition est  une opération interne dans $Z$ l'ensemble des entiers relatifs.
    • La somme de deux entiers  naturels est un entier  naturel donc l'addition est  une opération interne dans $N$ l'ensemble des entiers naturels.
    • La somme de deux entiers  pairs est un entier  pair donc l'addition est une opération interne dans $P$ l'ensemble des entiers pairs.
      En effet, si $n_1$ est pair et si $n_2$ est pair alors $\exists k_1 \in Z \quad n_1 = 2k_1$ et $\exists k_2 \in Z \quad n_2 = 2k_2$ donc $n_1 + n_2 = 2k_1 + 2k_2 = 2(k_1 + k_2)$ où $k_1 + k_2$ est un entier donc $n_1 + n_2$ est pair
    • La somme de deux nombres réels  est un nombre réel donc l'addition est  une opération interne dans $R$ l'ensemble des nombres réels.
    • La somme de deux nombres complexes est un nombre complexe donc l'addition est  une opération interne dans $C$ l'ensemble des nombres complexes.
  • Contre-exemples :
    La somme de deux entiers  impairs est un entier  pair donc l'addition n'est pas une opération interne dans $I$ l'ensemble des entiers impairs.
    En effet, si $n_1$ est impair et si $n_2$ est impair alors $\exists k_1 \in Z \quad n_1 = 2k_1 + 1$ et $\exists k_2 \in Z \quad n_2 = 2k_2 + 1$ donc $n_1 + n_2 = 2k_1  + 1 + 2k_2 + 1 = 2(k_1 + k_2 + 1)$ où $k_1 + k_2 + 1$ est un entier donc $n_1 + n_2$ est pair.
  • Propriétés d'une loi interne dans $E$
    • Commutativité :
      La loi $\ast$ est commutative dans $E$ lorsque $\forall x \in E \quad \forall y \in E \quad x \ast y = y \ast x$

      • Exemples :
        • L'addition $+$ est commutative dans $N, Z, D, Q, R, C$
        • La multiplication $\times$ est commutative dans $N, Z, D, Q, R, C$
      •  Contre-exemple :
        • La multiplication de matrices carrées n'est pas commutative :
          Par exemple, Si $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ alors
          $MN = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $NM = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
    • Associativité :
      La loi $\ast$ est associative dans $E$ lorsque $\forall x \in E \quad \forall y \in E \quad \forall z \in E (x \ast y ) \ast z = x \ast (y \ast z)$

      • Exemple :
        • L'addition $+$ est associative dans $N, Z, D, Q, R, C$
        • La multiplication $\times$ est associative dans $N, Z, D, Q, R, C$
        • La composition $ \circ $ d'applications de $E$ dan $E$ est associative car
          si $f,g,h$ sont des applications de $E$ dans $E$ alors $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$
    • Existence d'un élément neutre :
      La loi $\ast$ admet un élément neutre dans $E$ lorsque $\exists e \in E \quad \forall x \in E \quad x \ast e = e \ast x = x$

      • Exemples :
        • $0$ est élément neutre de l'addition $+$ dans $N, Z, D, Q, R, C$
        • $1$ est élément neutre de la multiplication $*$ dans $N, Z, D, Q, R, C$
    • Existence d'un élément symétrique d'un élément :
      Un élément $x$ de $E$ admet un élément symétrique pour la loi $\ast$ dans $E$ si $\exists x' \in E \quad x \ast x' = x' \ast x = e$

      • Exemples :
        • $-x$ est l'élément symétrique de $x$ dans $N, Z, D, Q, R, C$ muni de l'addition.
        • $x^{-1} =\dfrac{1}{x}$ est l'élément symétrique de $x$ dans $ R^*$ muni de la multiplication.