Soit un repère orthonormé de centre $O$. Soit A le point de coordonnées $(0 ;-1)$.
Soit $M$ le point de coordonnées $(x ;0)$ où $x$ est un nombre réel.
Soit $B$ le point d’intersection de l’axe des ordonnées et de la perpendiculaire en $M$ au segment $[AM]$.
- Activité 1
1°) Que vaut $OB$ lorsque $x = 0$ ?
2°) Supposons dorénavant que $x > 0$. Soit $a$ une mesure de l’angle géométrique $\widehat{OBM}$. a) Démontrer que $a$ est aussi une mesure de l’angle géométrique $\widehat{OMA}$
b)En exprimant $tan(a)$ de deux manières, démontrer que $OM^2 = OB \times OA$
c) Déduire du a) et du b) que $OB = x^2$.
3°) En utilisant le logiciel Cabri-Géomètre
a) Construire la figure précédente.
b)Construire $M’$ le point d’intersection de la perpendiculaire en $M$ à l’axe des abscisses et de la perpendiculaire en $B$ à l’axe des ordonnées.
c) Construire le lieu géométrique de $M’$ lorsque $M$ décrit l’axe des ordonnées.
4°) Observez la courbe ainsi obtenue et qui a donc pour équation $y = x^2$.
a) Que peut-on conjecturer sur la parité de f ? Justifier.
b) Démontrer que si $x > 0$ et $x’ > 0$ et $x < x’$ alors $x^2 < x'^2$.
c) Démontrer que si $x < 0$ et $x’ < 0$ et $x < x’$ alors $x^2 >x'^2$
d) Dresser le tableau de variations de f.
- Compléter le tableau de variations suivant :
| $x$ | $10^0$ | $10^1$ | $10^2$ | $10^3$ | $10^4$ |
| $f(x)$ |
- Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $x^2 > 10^2 $?
- Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $x^2 > 10^{10}$?
- Si $A > 0$, pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $x^2 > A$?
Activité 2
1°) Compléter le tableau suivant :
| x | 0 | 0.5 | 0.7 | 0.8 | 0.9 | 1 | 1.2 | 1.5 | 2 | 3 | 4 |
| f(x) |
2°) Placer les points de coordonnée $(x;x^2)$ du tableau précédent dans un repère orthogonal.
3°) Relier ces points à main levée.
En déduire le tracé complet de la courbe d’équation $y = x^2$.
4°) Tracer dans le même repère la courbe d’équation $y = x$.
5°) On voudrait comparer les positions relatives des courbes d’équation $y = x^2$ et $y = x$.
a) Résoudre l’équation d’inconnue $x$ réelle : $x^2 = x$.
b) Résoudre les inéquations d’inconnue $x$ réelle : $x^2 < x$ et $x^2 > x$
Résumé de cours
Soit $f$ définie sur $R$ par $f(x) = x^2$
Elle admet le tableau de variations suivant :
Sa courbe représentative dans un repère orthogonal est appelée parabole.
Cette parabole a pour sommet $O$ et pour axe de symétrie l’axe des ordonnées.
Un nombre est égal à son carré si et seulement si ce nombre est $0$ ou $1$.
Un nombre est plus grand que son carré si et seulement si ce nombre est compris entre $0$ et $1$.
Un nombre positif est plus petit que son carré si et seulement si ce nombre est supérieur à $1$.
Un nombre négatif est plus petit que son carré.
Auteurs : Christian CYRILLE (Lycée Schoelcher) et Patrick JEAN-BAPTISTE (Lycée Schoelcher)