Soit un repère orthonormé de centre $O$. Soit $A$ le point de coordonnées $(0 ;-1)$.
Soit $I$ le point de coordonnées $(1 ;0)$. Soit $M$ le point de coordonnées $(x ; 0)$ où $x$ est un nombre réel.
Soit $B$ le point d’intersection de l’axe des ordonnées et de la perpendiculaire en $M$ au segment $[AM]$.
On a démontré dans la séquence sur la fonction carré que $OB = x^2$.
Activité 1
1°) En utilisant le logiciel Cabri-Géomètre
a) Construire $C$ le point d’intersection de l’axe des ordonnées et de la droite parallèle à $(BI)$ passant par $M$.
b) Quelles sont les coordonnées du point $C$ ?
c) Construire $M’’$ le point d’intersection de la perpendiculaire en $M$ à l’axe des abscisses et de la perpendiculaire en $C$ à l’axe des ordonnées.
d) Construire le lieu géométrique de $M’’$ lorsque $M$ décrit l’axe des ordonnées.
4°) Observez la courbe ainsi obtenue et qui a donc pour équation $y = x^3$.
a) Que peut-on conjecturer sur la parité de $f$? Justifier.
b) Vérifier que $a^3 – b^3 = (a – b)( a^2 + ab + b^2)$
c) Démontrer que si $0 < x < x’$ alors $x^3 < x'^3$
d) Déduire du a ) et du c) le tableau de variations de $f$.
e) Compléter le tableau de variations suivant :
|
$x$ |
$10^0$ | $10^1$ | $10^2$ | $10^3$ |
$10^4$ |
|
$f(x)$ |
|
a) Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $x^3 > 10^3$ ?
b) Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $x^3 > 10^9$ ?
Activité 2
1°) On voudrait comparer les positions relatives des courbes d’équation $y = x^3$ et $y = x^2$.
a) Résoudre l’équation d’inconnue $x$ réelle : $x^2 =x^3$
b) Résoudre les inéquations d’inconnue $x$ réelle : $x^2 < x^3$ et $x^2 > x^3$
2°) En utilisant la question précédente et le 5°) de l’activité 2 de la séquence sur la fonction carré, déterminer les positions relatives des courbes d’équation $y = x, y = x^2$ et $y = x^3$.
3°) Compléter le tableau suivant :
|
$x$ |
$0$ | $0.5$ | $1$ | $1.5$ | $2$ |
$3$ |
|
$f(x)$ |
4°) Placer les points de coordonnées $(x ; x^3)$ du tableau précédent dans un repère orthogonal.
5°) Relier ces points à main levée.
En déduire le tracé complet de la courbe d’équation $y = x^3$.
Tracer dans le même repère les courbes d’équation $y = x$ et $y = x^2$.
Résumé de cours
Soit $f$ définie sur $R$ par $f(x) = x^3$
Elle admet le tableau de variations suivant :
Auteurs : Christian CYRILLE (Lycée Schoelcher) et Patrick JEAN-BAPTISTE (Lycée Schoelcher)