La fonction inverse

Activité 1

Soit un repère orthonormé de centre $O$.

Soit $A$ le point de coordonnées $(1;0)$ et $B$ le point de coordonnées $(0;1)$.

Soit un point $M$ distinct de $O$ et situé sur l’axe des abscisses.
On notera $x$ la mesure algébrique du bipoint $(O;M)$.

La droite parallèle à $(MB)$ passant par $A$ coupe l’axe des ordonnées en $N$.

1°) Quelles sont les coordonnées de $N$ ? Justifier.

2°) En utilisant le logiciel Cabri-Géomètre
a) Construire la figure précédente.
b) Construire $M^{\prime }$ le point d’intersection de la perpendiculaire en $M$ à l’axe des abscisses et de la perpendiculaire en $N$ à l’axe des ordonnées.
c) Construire le lieu géométrique de $M^{\prime }$ lorsque $M$ décrit l’axe des abscisses.
3°) Observez la courbe ainsi obtenue qui a donc pour équation $y={\displaystyle \frac{1}{x}}$
a) Que peut-on conjecturer sur la parité de $f$ ? Justifier.
b) Démontrer que si $x>0$ et $x^{\prime }>0$ et $x<x^{\prime }$ alors ${\displaystyle \frac{1}{x}}>{\displaystyle \frac{1}{x^{\prime }}}$
c) Déduire du a) et du b) le tableau de variations de $f$ sur $R^{\ast }$.
d) Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on ${\displaystyle \frac{1}{x}}>{10}^2$ ? ${\displaystyle \frac{1}{x}}>{10}^{10}$ ?
e) Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on ${\displaystyle \frac{1}{x}}>{10}^{-3}$ ? ${\displaystyle \frac{1}{x}}>{10}^{-12}$ ?

Activité 2

1°) Compléter le tableau suivant :

$x$	$0.25$	${\displaystyle \frac{1}{3}}$	$0.5$	$1$	$2$	$3$	$4$
${\displaystyle \frac{1}{x}}$

 

2°) Placer les points de coordonnées $(x;{\displaystyle \frac{1}{x}})$ du tableau précédent dans un repère orthogonal.

3°) Relier ces points à main levée.
En déduire le tracé complet de la courbe d’équation $y={\displaystyle \frac{1}{x}}$

Résumé de cours

Soit $f$ définie sur $R^{\ast }$ par $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$
Elle admet le tableau de variations suivant :

 

La courbe d’équation $y={\displaystyle \frac{1}{x}}$ s’appelle une hyperbole admettant $O$ comme centre de symétrie.

Les inverses de 2 nombres positifs sont rangés dans l’ordre inverse de celui de ces nombres.
Auteurs : Christian CYRILLE (Lycée Schoelcher) et Patrick JEAN-BAPTISTE(Lycée Schoelcher)