Méthodes et Outils

• Résultats de base à connaître par coeur 
  • 8 identités remarquables dans l'ensemble des réels(mieux dans tout anneau commutatif) :
  • $IR_1$ : $(a +b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
    démonstration :
    $(a +b)^2 =(a + b)(a + b) = a^2  +ab + ab + b^2 =a^2 + 2ab + b^2$
    Le carré d'une somme est la somme du double produit et des carrés des deux nombres.
    Attention, le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés d'autant plus que la fonction carré n'est pas une fonction linéaire !
    Attention, il ne faut jamais oublier le double produit : vous pouvez le vérifier en observant bien le schéma suivant :
    
  • $IR_3$ : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
    démonstration :
    - soit on remplace $b$ par $-b$ dans l'identité remarquable $IR_1$
    - soit on calcule : $(a -b)^2 =(a - b)(a - b) = a^2  -ab - ab + b^2 =a^2 - 2ab + b^2$
    - vous pouvez le vérifier en observant bien  le schéma suivant ^: 
    
  • $IR_3 $ :$(a + b)(a - b) =a^2 - b^2$
    Démonstration :
    - par le calcul : $(a + b)(a - b) = a^2 -ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$
    - vous pouvez le vérifier en observant bien  le schéma suivant ^:
    
    
  • $IR_4$ : $(a + b)^3 =a^3 + 3a^2 + 3ab^2 + b^3$
  • $IR_5$ :$(a - b)^3 =a^3 - 3a^2 + 3ab^2 - b^3$
    Il est assez facile de retenir ces identités remarquables en utilisant le triangle dit de PASCAL ou le triangle de SHU SHI YIE et la formule du binôme de Newton :
  • $IR_6$ : $\displaystyle{(a + b)^n = \sum_{k = 0}^n \binomial(n,k) a^k b^{n - k}}$
    

• $IR_7$ : $a^3 + b^3 = ( a + b)(a^2 -ab + b^2)$
• $IR_8$ : $a^3 - b^3 = ( a - b)(a^2 +ab + b^2$
• $IR_9$ : $(a + b + c)^2 =a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$
• $IR_{10}$: Pour tout entier $n$ > 1,
  $a^n - b^n = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + \cdots + ab^{n - 2} + b^{n - 1})$
  • Exercice 1
    Calculer mentalement $101^2$ ; $204^2$ ; $101 \times 99$ ; $394 \times  406$ ; $47^2 - 43^2$
  • Exercice 2
    Compléter les égalités suivantes :
    $x^2 + \cdots + 25 =  ( ...... + ......)^2$
    $x^2 + \cdots + 16 = ( ...... + ......)^2$
    $x^2 + \cdots + 16 a^2 = ( ...... + ......)^2$
    $x^2 + \cdots + 16 a^2 = ( ...... - ......)^2$
    $x^2 + 8x + \cdots  = ( ...... + ......)^2$
    $x^2 - 10 x + \cdots.= ( ...... - ......)^2$
    $x^2 + 6x + \cdots = ( ...... + ......)^2$
    $x^2 - 12 x +\cdots  = ( ...... - ......)^2$

• une équation du type $ax + b = 0$
• une inéquation du type $ax + b \geq 0$
• une inéquation-produit du type $(ax + b)(cx + d) \geq 0$
• une inéquation-quotient du type $\dfrac{ax + b}{cx +d} < 0$

• 1er cas : le discriminant $\Delta < 0$
  

  $x$	$-\infty$		$+\infty$
  $ax^2 + bx + c$		signe de $a$

  
  
• 2ème cas : le discriminant $\Delta > 0$
  

  $x$	$-\infty$		$\frac{-b}{2a}$		$+\infty$
  $ax^2 + bx + c$		signe de $a$	0	signe de $a$

  
  
• 3ème cas : le discriminant $\Delta > 0$
  

  $x$	$-\infty$		$x'$		$x"$		$+\infty$
  $ax^2 + bx + c$		signe de $a$	0	signe contraire de $a$	0	signe de $a$

  
  Ce théorème sous forme de 3 tableaux permet de résoudre aisément
• une équation du type $ax^2 + bx + c = 0$
• une inéquation du type $ax^2 + bx + c \geq 0$
• une inéquation-produit du type $(ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) \leq 0$
• une inéquation-quotient du type $\dfrac{ax^2 + bx + c}{dx^2 + ex + f} < 0$

• 1ère étape : chercher l'ensemble de définition $Def$ de cette équation c'est-à-dire l'ensemble des $x$ pour lesquels les membres de cette équation (ou inéquation) existent.
• 2ème étape : Pour tout $x \in Def$ résoudre cette équation par équivalence logique.
• 3ème étape : Vérifier que les solutions trouvées appartient bien à l'ensemble de définition puis écrire l'ensemble des solutions $\mathcal{S}$
  Exemple : Résoudre l'équation suivante $\dfrac{3x - 5}{x + 1}   = \dfrac{-7}{x} + \dfrac{7 - x}{x^2 + x}$ d'inconnue $x \in R$
  • $Def =\{ x / x + 1 \neq 0 \text{ et } x \neq 0 \text{ et } x^2 + x \neq 0\}$
    Comme $x + 1 = 0 \iff x = -1$
    Comme $x^2 + x = 0 \iff x(x + 1) = 0 \iff x = 0 \text{ ou } x = -1$
    alors $Def = R - \{ -1 ; 0\}$
  • $\forall x \in Def$ on a $\dfrac{3x - 5}{x + 1}   = \dfrac{-7}{x} + \dfrac{7 - x}{x^2 + x}
    \iff \dfrac{x(3x - 5)}{x(x + 1)}   = \dfrac{-7(x + 1)}{x(x + 1)} + \dfrac{7 - x}{x^2 + x}$
    $\iff x(3x - 5) = -7(x + 1) + 7 - x \iff 3x^3 - 5 x = -7 x - 7 + 7 - x \iff 3x^2 -5x = -8x$
    $\iff 3x^2 + 3x = 0 \iff 3x( x + 1) = \iff x =0 \text{ ou } x = -1$
  • $0 \notin Def$ et $-1 \notin Def$ donc $\mathcal{S} = \emptyset$

• $R_1$ : $a,m,m',M$ étant des  nombres réels
  Si $m \leq a \leq M$ alors $m + m' \leq a  + m' \leq M + m'$
  On peut ajouter ou retrancher  aux 3 membres d'une double inégalité la même valeur
• $R_2$ :
  
  Attention , pour la multiplication de deux membres d'une inégalité par un même nombre, il faut s'inquiéter du signe de ce nombre.
  $a,m,m',M$ étant des  nombres réels
  • Si $m' > 0$, Si $m \leq a \leq M$ alors $m m' \leq a  m' \leq M  m'$ : l'ordre est conservé.
  • Si $m' < 0$, Si $m \leq a \leq M$ alors $m m' \geq a  m' \geq M  m'$ : l'ordre est renservé.
    Exemple classique : $ln(0.2) x \leq ln(8) \iff x \geq \dfrac{ln(3)}{ln(0,2)}$ car $ln(0,2) < 0$ puisque $0< ln(2) < 1$
• $R_3$ : $a,b, m,m',M,M'$ étant des  nombres réels
  Si $m \leq a \leq M$
  Si $m' \leq b \leq M'$
  alors $m + m' \leq a + b \leq M + M'$
• $R_4$ : $a,b, m,m',M,M'$ étant des  nombres réels
  
  Si $m \leq a \leq M$
  Si $m' \leq b \leq M'$
  alors $-m' \geq -b \geq -M'$
  donc $m \leq a \leq M$
  $-M' \leq - b \leq -m'$
  Par conséquent, $m -M' \leq a - b \leq M -m'$
• $R_5$ : $a,b, m,m',M,M'$ étant des  nombres réels
  Si $0 \leq m \leq a \leq M$
  Si $0 \leq m' \leq b \leq M'$
  alors $m + m' \leq a b \leq M + M'$
• $R_6$ :
• $R_7$ :
• $R_8$ :
• $R_9$ :
• $R_{10}$ :
• $R_{11}$ :
• $R_{12}$ :
• $R_{13}$ :

Maîtriser la notion de valeur absolue d'un nombre réel :
Retenons :

b) $|x| = 7$

c) $|x - 3| = -3$

d) $|x - 3| = 0$

Retenons :

La distance entre des nombres $a$ et $b$ est la valeur absolue de leur différence.

On écrira $d(a;b) = | a - b |$

Exercice

1°)Calculer $d(3;4) ; d( 4;-7) ; d(-7;-11)$

2°) Résoudre en utilisant la notion de distance l'équation : $|x - 3| = 2$

Retenons :

1°)Si $a <= 0$ alors $|nombre|< a$ est impossible 

2°)Si $a > 0$ alors $|nombre| < a$ signifie que ce nombre est strictement compris entre $- a$ et $a$

3°)Si $a < 0$ alors $|nombre|> a$ est vraie pour tout nombre.

4°)Si $a >= 0$ alors $|nombre| > a$ signifie que ce nombre est strictement plus petit que $-a$ ou strictement plus grand que $a$.